Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Для системы в нормальной форме вводят величины ${\displaystyle \rho _{i}=\sum _{k=1}^{\infty }|c_{ik}|}$. Система называется^[3][21]:

• регулярной, если ${\displaystyle \rho _{i}<1}$ для всех ${\displaystyle i}$;
• вполне регулярной, если существует такое ${\displaystyle \theta >0}$, что ${\displaystyle \rho _{i}\leq 1-\theta }$ для всех ${\displaystyle i}$;
• квазирегулярной, если условие регулярности выполняется начиная с некоторого номера или после надлежащего преобразования системы.

Отдельно выделяют системы с вполне непрерывным (компактным) оператором ${\displaystyle C}$, для которых применима теория Рисса — Шаудера и справедливы альтернативы фредгольмова типа^[22], а также системы с теплицевыми и ленточными матрицами, обладающие развитой спектральной теорией^[17].

Решение регулярной системы, ограниченное по модулю, называют главным; систему, у которой главное решение единственно, называют определённой. Различение главных и неглавных решений введено Б. М. Кояловичем и составляет одну из особенностей классической теории бесконечных систем^[12].

Для систем, сводимых к виду ${\displaystyle (I-C)x=b}$, важным инструментом является понятие бесконечного определителя ${\displaystyle \det(I-C)}$. По теореме фон Коха, если матрица ${\displaystyle C}$ удовлетворяет условию абсолютной сходимости ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }|c_{ik}|<\infty }$, то бесконечный определитель сходится абсолютно. В этом случае система имеет единственное решение в классе ограниченных последовательностей тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \det(I-C)\neq 0}$, и это решение может быть записано по аналогии с формулами Крамера^[10][23].

Если система регулярна и свободные члены ограничены в совокупности, ${\displaystyle |b_{i}|\leq K}$, то система имеет по крайней мере одно ограниченное решение, причём для вполне регулярной системы справедлива оценка ${\displaystyle |x_{i}|\leq K/\theta }$. Вполне регулярная система с ограниченной правой частью имеет единственное ограниченное (главное) решение, которое может быть получено методом последовательных приближений

${\displaystyle x_{i}^{(0)}=b_{i},\qquad x_{i}^{(n+1)}=\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}^{(n)}+b_{i},}$

сходящимся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем ${\displaystyle 1-\theta }$^[3][24].

Пусть ${\displaystyle x^{(N)}=(x_{1}^{(N)},\ldots ,x_{N}^{(N)})}$ — решение конечной системы, получаемой отбрасыванием всех уравнений и неизвестных с номерами, большими ${\displaystyle N}$ (метод редукции). Для вполне регулярных систем последовательность ${\displaystyle x^{(N)}}$ сходится покоординатно к главному решению исходной системы при ${\displaystyle N\to \infty }$.

В общем случае (например, для систем с ограниченным, но не компактным оператором) метод конечных сечений может расходиться даже при однозначной разрешимости исходной системы. Кроме того, конечные подсистемы могут оказаться плохо обусловленными (число обусловленности растёт с ростом ${\displaystyle N}$). Необходимые и достаточные условия применимости метода формулируются в терминах равномерной ограниченности обратных операторов конечных сечений или обратимости семейства предельных операторов^[18][17].

Если ${\displaystyle C}$ — вполне непрерывный оператор в ${\displaystyle \ell ^{p}}$, то для уравнения ${\displaystyle (I-C)x=b}$ выполняются классические альтернативы Фредгольма^[22][25].

Особый класс бесконечных систем образуют системы с трёхдиагональными матрицами, которые в функциональном анализе называются операторами Якоби. Спектральная теория таких операторов находится в глубокой связи с теорией ортогональных многочленов и классической проблемой моментов (Гамбургера и Стилтьеса): коэффициенты рекуррентного соотношения для ортогональных многочленов в точности образуют бесконечную трёхдиагональную матрицу, а задача нахождения меры ортогональности эквивалентна спектральному разложению этого оператора^[26][27].

Система

${\displaystyle x_{i}=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-(i+k)}x_{k}+2^{-i},\qquad i=1,2,\ldots ,}$

вполне регулярна, так как ${\displaystyle \rho _{i}=2^{-i}\leq 1/2}$. Обозначив ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-k}x_{k}}$, получаем ${\displaystyle x_{i}=2^{-i}(S+1)}$ и ${\displaystyle S=(S+1)/3}$, откуда ${\displaystyle S=1/2}$ и

${\displaystyle x_{i}={\tfrac {3}{2}}\cdot 2^{-i}.}$

Решения конечных подсистем порядка ${\displaystyle N}$ сходятся к этому решению; погрешность убывает как геометрическая прогрессия, что иллюстрирует приведённый график^[33].

Система вида

${\displaystyle a_{i}x_{i-1}+b_{i}x_{i}+c_{i}x_{i+1}=f_{i},\qquad i=1,2,\ldots ,\quad x_{0}=0,}$

эквивалентна линейному разностному уравнению второго порядка. Если ${\displaystyle f_{i}=0}$ (однородная система), она описывает рекуррентное соотношение для ортогональных многочленов. Её ограниченное решение выделяется требованием ${\displaystyle x_{i}\to 0}$ при ${\displaystyle i\to \infty }$ и выражается через непрерывные дроби; при численном решении устойчивым является счёт «сверху вниз»^[29][27][34].

Для системы массового обслуживания ${\displaystyle M/M/1}$ с интенсивностью входящего потока ${\displaystyle \lambda }$ и интенсивностью обслуживания ${\displaystyle \mu }$ стационарные вероятности состояний удовлетворяют бесконечной системе

${\displaystyle \lambda p_{0}=\mu p_{1},\qquad (\lambda +\mu )p_{n}=\lambda p_{n-1}+\mu p_{n+1},\quad n\geq 1,}$

с условием нормировки ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}p_{n}=1}$. При ${\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}$ система имеет единственное решение ${\displaystyle p_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}$; при ${\displaystyle \rho \geq 1}$ суммируемого решения не существует, что соответствует отсутствию стационарного режима^[35].

Подстановка ряда Фурье ${\displaystyle y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }y_{n}e^{i(n+\nu )t}}$ в уравнение Хилла ${\displaystyle y''+{\bigl (}\theta _{0}+2\sum _{m\geq 1}\theta _{m}\cos 2mt{\bigr )}y=0}$ приводит к бесконечной системе относительно коэффициентов ${\displaystyle y_{n}}$. Условие её нетривиальной разрешимости — обращение в нуль бесконечного определителя Хилла — определяет характеристический показатель ${\displaystyle \nu }$ и границы зон устойчивости^[8][36].