Теорема Кронекера — Капелли

Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений, согласно которому система имеет решение тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Если система совместна, то столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов основной матрицы. Добавление такого столбца не меняет ранг, поэтому ранг расширенной матрицы равен рангу основной.

Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то базисный минор основной матрицы будет также базисным минором расширенной. По теореме о базисном миноре, столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов основной матрицы, что эквивалентно существованию решения.

Количество главных переменных в системе равно её рангу. Это следует из теоремы Кронекера — Капелли.

Система имеет единственное решение, если её ранг равен числу всех переменных.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Доказана Леопо́льдом Кро́некером, Альфре́до Капе́лли.

Система уравнений $Ax=B$ разрешима тогда и только тогда, когда $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$ , где $(A|B)$ — расширенная матрица, полученная из матрицы $A$ приписыванием столбца $B$ ^[1].

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ такие, что $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ . Следовательно, столбец $b$ является линейной комбинацией столбцов $a_{1},\dots ,a_{n}$ матрицы $A$ . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$ .

Достаточность

Пусть $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r$ . Возьмём в матрице $A$ какой-нибудь базисный минор. Так как $\operatorname {rang} A|B=r$ , то он же будет базисным минором и матрицы $A|B$ . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы $A|B$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$ . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$ .

Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 65.

В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

[_f2b5fb756d340f8d-1] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 65.

[1]

Теорема Кронекера — Капелли

Пояснения

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Достаточность

Следствия

См. также

Примечания

Литература

Категории