Треугольная матрица

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i>j}$^[4][5].

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i<j}$^[4][5].

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица ${\displaystyle A}$, в которой все элементы на главной диагонали равны единице: ${\displaystyle a_{jj}=1}$^[6].

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной^[7][8].

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате^[9]:

• любую матрицу ${\displaystyle A_{n\times n}}$ путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах^[10]:

• любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы ${\displaystyle L}$ и верхней треугольной матрицы ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle A=LU}$ (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы ${\displaystyle L}$ была унитреугольной;
• любую невырожденную квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ можно представить в следующем виде: ${\displaystyle PA=LU}$, где ${\displaystyle P}$ — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение); матрица такого вида характеризуется единственностью.

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали^[11][12] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
• Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу^[8], которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
• Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу^[8], которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
• Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
• Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.