Гомоцентрический пучок лучей

В допущениях геометрической оптики принято постулировать, что пучки света являются гомоцентрическими, и после прохождения через оптическую систему сходятся в одной точке в пространстве изображений. Это возможно, если допустить, например, что показатель преломления оптической среды не зависит от частоты света, проходящего через неё, и сделать ряд других допущений (полное отсутствие аберраций). Формирующиеся таким образом из гомоцентрических пучков точечные изображения называют стигматическими.

Для стигматических изображений, сформированных гомоцентрическими пучками, согласно принципу обратимости хода световых лучей, пространства предметов и изображений можно менять местами. Центры гомоцентрических пучков в таком случае называются сопряжёнными точками оптической системы при преобразовании расходящегося пучка в сходящийся. Поверхность, нормальная к гомоцентрическим пучкам называется волновой поверхностью, и в однородной среде (в допущении геометрической оптики) является сферической (центр сферы находится в точке пересечения формирующих пучок лучей). Оптические системы, образованные сферическими (и плоскими, как предел сферических) отражающими и преломляющими поверхностями, называются центрированными, если центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой.

В реальных оптических системах приближённо считать гомоцентрическими можно только параксиальные пучки света.

На рисунке показан ход лучей в идеальной оптической системе, на которую падает гомоцентрический пучок лучей. Здесь ${\displaystyle OC}$ — оптическая система, ${\displaystyle R}$ — радиус сферического фронта световой волны, ${\displaystyle y}$ — расстояние от точки на фронте сферической волны до оси оптической системы, ${\displaystyle \alpha }$ — угол между лучом, проходящим через эту точку и оптической осью системы.

Рассмотрим ход лучей в идеальной оптической системе, изображённой на рисунке, через которую проходит гомоцентрический пучок. Из построения хода лучей видно, что приведённый радиус гомоцентрического пучка, исходящего из точки ${\displaystyle O}$ в пространстве предметов, равен:

${\displaystyle R_{\text{прив}}={\frac {R}{n}}}$,

где ${\displaystyle n}$ — показатель преломления среды. Для параксиальных лучей можно принять ${\displaystyle y=\alpha R}$. Тогда:

${\displaystyle R_{\text{прив}}={\frac {R}{n}}={\frac {y}{n\alpha }}}$,

что эквивалентно равенству отношения двух координат луча в матричной оптике.

Зададим матрицу оптической системы в виде:

${\displaystyle {\widehat {M}}={\Biggl (}{A\ldots ,B \atop C\ldots ,D}{\Biggl )}}$.

Подставив значения приведённого радиуса в выражение для матрицы оптической системы, получим:

${\displaystyle {\frac {R_{2}}{n_{2}}}={\frac {y_{2}}{n_{2}\alpha _{2}}}={\frac {Ay_{1}+Bn_{1}\alpha _{1}}{Cy_{1}+Dn_{1}\alpha _{1}}}={\frac {A\cdot {\frac {y_{1}}{n_{1}\alpha _{1}}}+B}{C\cdot {\frac {y_{1}}{n_{1}\alpha _{1}}}+D}}={\frac {A\cdot {\frac {R_{1}}{n_{1}}}+B}{C\cdot {\frac {R_{1}}{n_{1}}}+D}}}$.

Окончательно можно записать:

${\displaystyle {\frac {R_{2}}{n_{2}}}={\frac {A\cdot {\frac {R_{1}}{n_{1}}}+B}{C\cdot {\frac {R_{1}}{n_{1}}}+D}}}$,

что математически представляет правило ${\displaystyle ABCD}$, или, другими словами, правило преобразования приведённого радиуса гомоцентрического пучка лучей.