Тело Штейнмеца

Бицилиндр, образованный двумя цилиндрами с радиусами ${\displaystyle r}$, имеет объём ${\displaystyle V={\frac {16}{3}}r^{3}}$ и площадь поверхности ${\displaystyle S=16r^{2}}$^[1][7].

Верхняя половина бицилиндра является квадратным вариантом сомкнутого свода^[en], куполовидного тела, опирающегося на выпуклый многоугольник, горизонтальные сечения которого являются уменьшенными копиями основания. Имеют место аналогичные формулы вычисления объёма и площади поверхности сомкнутого свода как соответствующих величин (с некоторыми рациональными коэффициентами) призмы с тем же основанием^[8].

Для получения формулы объёма удобно использовать общую идею вычисления объёма сферы — суммирование тонких цилиндрических слоёв. В нашем случае слоями будут квадратные параллелепипеды (см. рисунок). Тогда получим:

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3}}r^{3}}$.

Известно, объёмы вписанного в полусферу конуса (с высотой полусферы и опирающегося на основание полусферы), полусферы и описанного вокруг сферы цилиндра (с высотой полусферы) относятся как 1: 2: 3. Для половины бицилиндра верны аналогичные утверждения:

• Отношения объёмов вписанной квадратной пирамиды (${\displaystyle a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}}$), половины бицилиндра (${\displaystyle V={\frac {8}{3}}r^{3}}$) и описанного прямоугольного параллелепипеда (${\displaystyle a=2r,\,h=r,\,V=4r^{3}}$) равны 1: 2: 3.

Рассмотрим формулы цилиндров:

${\displaystyle x^{2}+z^{2}=r^{2}}$ и ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$.

Объём задаётся формулой:

${\displaystyle V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x}$.

С пределами интегрирования:

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$,

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$,

${\displaystyle -r\leqslant x\leqslant r}$.

Подстановкой получим:

${\displaystyle V=\int \limits _{-r}^{r}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^{3}}{3}}}$.

Рассматриваемая поверхность состоит из двух красных и двух синих цилиндрических двуугольников. Один красный двуугольник делится пополам y-z-плоскостью и разворачивается на плоскости так, что половина окружности (пересечение с плоскостью y-z) разворачивается в положительную ${\displaystyle \xi }$-ось, а развёрнутый биугол ограничен сверху дугой ${\displaystyle \eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leqslant \xi \leqslant \pi r}$. Следовательно, площадь этой развёрнутой фигуры (половины двуугольника) равна:

${\displaystyle B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}}$,

а площадь полной поверхности равна:

${\displaystyle A=8\cdot B=16r^{2}}$.

Вывод объёма бицилиндра (белого) можно провести путём упаковки в куб (красный). Пересечение плоскости (параллельной осям цилиндра) и бицилиндра образует квадрат, а пересечение с кубом образует больший квадрат. Разница между площадями этих двух квадратов та же, что и у 4 маленьких квадратов (синих). При движении плоскости через тело эти синие квадраты образуют квадратные пирамиды с равнобедренными гранями по углам куба. Пирамиды имеют вершины в серединах четырёх рёбер куба. Продвижение плоскости через весь бицилиндр обрисует 8 пирамид.

Объём куба (красный) минус объём восьми пирамид (синие) равен объёму бицилиндра (белый). Объём 8 пирамид равен ${\displaystyle \textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}}$, и мы можем теперь вычислить объём бицилиндра ${\displaystyle \textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}}$.

Пересечение трёх цилиндров с перпендикулярными пересекающимися осями образует поверхность тела с вершинами, в каждой из которых сходятся 3 ребра, и вершинами, в каждой из которых сходятся 4 ребра. Ключевым фактом для определения объёма и площади поверхности является наблюдение, что трицилиндр можно собрать из куба, вершины которого совпадают с вершинами трицилиндра, в которых сходятся 3 ребра (см. рисунок), и 6 криволинейных пирамид (треугольники являются частями поверхностей цилиндров). Объём и площадь поверхности криволинейных треугольников можно вычислить аналогично сделанному выше для бицилиндра^[1][7].

Объём трицилиндра равен:

${\displaystyle V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}}$,

а площадь поверхности равна:

${\displaystyle A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.}$

Для четырёх цилиндров, оси которых соответствуют высотам тетраэдра, объём равен^[1][7]:

$${\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}}$$

Для шести цилиндров, оси которых параллельны диагоналям граней куба, объём равен^[1][7]:

${\displaystyle V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}}$.