Статистическая радиофизика

Создание и совершенствование навигационных систем в авиации, новых радиофизических устройств и приборов привело к стремительному развитию радиолокации, систем дальней радиосвязи и радионавигации в 1930‒1950-е гг. Значительный вклад в этот процесс внесли учёные-радиофизики, которые поняли, что статистические явления играют важную роль при генерации, модуляции излучения, распространения и приёма радиоволн. Ими были выполнены исследования электромагнитных флуктуаций (шумов) в радиотехнических устройствах, статистических явлений при излучении и распространении радиоволн, проблемы стабильности работы автогенераторов (генераторов с самовозбуждением), способов увеличения отношения сигнал/шум и др.

Рассмотрим основные вехи в истории развития статистической радиофизики^[2][3].

В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал дробовый шум в электронных лампах, работающих в режиме насыщения. Он обнаружил, что такой шум возникает вследствие случайности скорости электронов, попадающих на анод вакуумных ламп. В. Шоттки установил закономерности дробового шума, что позволило сконструировать радиолампы, в которых уровень этого шума был минимальный.

В 1928–1930 гг. Г. Найквист получил формулу (теорему), описывающую спектральную плотность собственных шумов сопротивления, которые связанны с тепловым движением электронов. С помощью формулы Найквиста можно определить величину тепловых флуктуаций напряжения или тока в электрической цепи в отсутствие источников тока.

Случайные ЭДС, возникающие в радиотехнических устройствах вследствие теплового и дробового шума, невелики (речь идёт о среднеквадратичных напряжениях 10⁻⁵–10⁻⁶ В). Однако именно они, как было показано в дальнейшем, определяют предельные чувствительности радиоприёмных устройств. За счёт внутренних шумов радиоприёмника отношение интенсивностей сигнала и шума на выходе приёмника меньше, чем на входе:

(с/ш)_вых < (с/ш)_вх.

Флуктуации в автогенераторах проявляются в виде случайной модуляции амплитуды и частоты (фазы). Случайные воздействия приводят к размыванию спектра сигнала вблизи гармоник частоты колебаний. В автоколебательных системах собственные электромагнитные флуктуации определяют минимальную (предельную) ширину спектральной линии. В установлении этого факта важную роль сыграла выполненная в 1933 г. работа Л. С. Понтрягина, А. А. Андронова и А. А. Витта^[4]. В ней было исследовано влияние флуктуаций на неконсервативные системы, которые обладают несколькими устойчивыми состояниями равновесия. Полученные результаты были использованы и развиты рядом учёных при изучении флуктуаций в нелинейных колебательных системах.

В области описания шумов генераторов электромагнитных колебаний значительную роль сыграли представители Нижегородской радиофизической научной школы — Г. С. Горелик, И. Л. Берштейн, А. Н. Малахов и др. В 1938 г. Берштейн разработал теорию флуктуационных явлений в автоколебательных системах для случая колебаний, близких к синусоидальным. Им было показано, что наличие флуктуации в автоколебательной системе приводит к уширению спектральной линии генерируемых колебаний. Берштейн исследовал флуктуации амплитуды и фазы лампового генератора. Это позволило выполнить количественную оценку относительной ширины линии лампового генератора (~ 10^–13), обусловленной флуктуациями, и подтвердить существование медленной хаотической модуляции фазы, связанной с дробовым эффектом^[5].

В 1950 г. Горелик ввёл понятия естественной и технической ширины линии автогенератора в научный оборот, предложил метод измерения естественной ширины линии лампового генератора^[6]. В. С. Троицкий (ученик Горелика) выполнил измерения шумов клистронных генераторов^[7], а также провёл теоретические исследования шумов автогенераторов на основе оригинального спектрального подхода. А. Н. Малахов (ученик Троицкого) исследовал флуктуации амплитуды и частоты, ширину и форму спектральной линии автоколебаний различных автогенераторов с естественными и техническими шумами. Он подробно описал кумулянтный подход и применил его к анализу произвольных случайных величин, процессов и их преобразований. Малахов получил новые результаты, касающиеся закономерностей нелинейного преобразования негауссовых случайных величин и процессов, а также кинетики марковских процессов. В 1963 г. в Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского (ННГУ) была создана кафедра статистической радиофизики и мобильных систем связи. У её истоков стоял Малахов, возглавлявший эту кафедру в течение 30 лет. С 1994 г. кафедрой заведует ученик Малахова профессор А. А. Мальцев. Основным научным направлением работы кафедры стало исследование шумов и случайных явлений в системах обработки информации живыми организмами и радиоэлектронными устройствами.

До 1920-х гг. короткие радиоволны (диапазон частот 3‒30 МГц) считались бесполезными для установления связи на большие расстояния. Поэтому такие радиоволны были предоставлены в распоряжение любителей-энтузиастов. Однако по мере совершенствования техники радиосвязи выяснилось, что при определённых условиях на коротких волнах возможна связь на дальние расстояния даже при минимальной мощности передатчика. Это связано с тем, что радиоволны указанного диапазона взаимодействуют со свободными электронами в ионосфере, что приводит к преломлению, частичному или полному отражению, а также поглощению энергии волн.

Изучение статистических явлений при излучении и распространении коротких радиоволн поставило новые проблемы перед учёными-радиофизиками. Благодаря работам С. М. Рытова и М. Л. Левина, появился новый раздел в теории тепловых флуктуаций. Его предметом стало изучение флуктуации в неквазистационарных системах, в резонаторах и волноводах диапазона сверхвысоких частот. Рытовым и Левиным была установлена связь между тепловыми шумами в квазистационарных цепях и тепловым излучением в оптической области^[8].

Рытов плодотворно занимался вопросами распространения радиоволн в ионосфере и теорией флуктуационных явлений при распространении и дифракции волн в случайно-неоднородных средах. Его работы способствовали развитию следующих направлений исследований:

• распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах (тропосфере и ионосфере Земли);
• рассеяние на статистически неровных поверхностях (типа взволнованной морской поверхности);
• излучение и дифракция случайных волновых полей (в том числе теплового происхождения);
• флуктуации и шумы в радиофизических системах, их компонентах, окружающем пространстве и др.

Лекции по статистической радиофизике, которые Рытов читал в Московском физико-техническом институте (МФТИ), стали основой для написания учебника по статистической радиофизике, который стал научным бестселлером и настольной книгой для многих поколений учёных. Впоследствии на его основе был издан двухтомник по статистической радиофизике: часть 1 — «Случайные процессы» (С. М. Рытов, 1976)^[9], часть 2 — «Случайные поля» (С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов и В. И. Татарский, 1978)^[10].

В послевоенные годы благодаря развитию радиофизических устройств и методов было обнаружено, что СВЧ сигналы передатчиков часто принимаются далеко за линией горизонта (по крайней мере, за сотни километров). При этом уровень фиксируемых сигналов намного превышает полученный на основе расчётов, описывающих дифракцию радиоволн при распространении вдоль поверхности Земли. Характерной особенностью наблюдаемого поля были его сильные флуктуации. В конце 1940-х — начале 1950-х гг., в связи с освоением диапазона сантиметровых и миллиметровых волн, Б. А. Введенский и его сотрудники изучали условия их распространения в атмосфере. В 1953 г. он был приглашён в Институт радиотехники и электроники (ИРЭ) АН СССР, где возглавил программы исследований «Распространение радиоволн в тропосфере» и «Радиофизические исследования космического пространства». В 1954 г. в ИРЭ АН СССР Введенский создал отдел распространения радиоволн, в котором начались работы по исследованию дальнего тропосферного распространения (ДТР) радиоволн, влияния различных факторов на формирование поля при ДТР. Введенским и его сотрудниками были получены обширные экспериментальные данные, разработаны методы расчета полей ДТР (до дальности 1000 км) с учётом метеорологических условий, длины волны, рельефа местности и потерь усиления антенн.

Собственные шумы приёмных устройств, флуктуации сигналов в процессе распространения радиоволн, искусственные или естественные помехи, приходящие на вход приёмника вместе с полезным сигналом, приводят к тому, что приём сигнала в реальных условиях становится статистической задачей. Статистической оказывается также задача определения параметров сигнала. Как оптимальным образом осуществить процедуру обнаружения сигнала и уменьшить случайные ошибки при оценке его параметров? Ответ на эти вопросы дает статистическая теория обнаружения сигналов, ряд фундаментальных положений которой был сформулирован в 1940–1950-е гг.^[11]

Большую роль в её формировании сыграли работы В. А. Котельникова, в частности, созданная им теория потенциальной помехоустойчивости. Авторами теории оптимальной линейной фильтрации стали А. Н. Колмогоров и Н. Винер. Введению статистических методов в теорию связи мы обязаны С. О. Райсу, Д. Миддлтону и В. И. Бунимовичу. В их работах были заложены основы статистической радиотехники, рассмотрены вопросы, связанные с преобразованием случайных процессов при их прохождении через нелинейные узлы приёмных устройств, решены задачи по определению статистических характеристик выбросов случайных процессов. Предложенный Бунимовичем метод анализа узкополосных флуктуационных процессов (метод огибающих) сыграл большую роль в становлении статистической радиофизики. В 1951 г. был опубликован его фундаментальный труд «Флуктуационные процессы в радиоприёмных устройствах», ставший первой в мировой литературе книгой по статистической радиотехнике^[12].

Значительный вклад в постановку и решение теоретических и прикладных задач статистической радиофизики внесли учёные Нижегородской радиофизической научной школы. Так, например, профессор ННГУ А. А. Дубков предложил и развил математические методы статистического анализа, на основе которых удалось получить важные результаты в области описания вероятностных, временных и спектральных характеристик нелинейных динамических систем. Это позволило исследовать ряд нелинейных флуктуационных явлений в системах, в которых шум начинает играть конструктивную роль. К таким явлениям относят, например, стохастический резонанс — усиление периодического сигнала под действием белого шума определённой мощности.

Статистическая радиофизика — это быстро развивающаяся область науки, которая включает в себя как чисто физические проблемы, так и разнообразные прикладные вопросы. Широкий спектр задач статистической радиофизики стимулировал разработку новых приёмов экспериментального исследования статистики радиосигналов, создание эффективных теоретических методов решения задач линейной и в особенности нелинейной статистической теории колебаний, статистической теории распространения волн и пр. В качестве примера можно привести класс статистических задач, возникший в связи с изучением распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере.

При решении задач статистической радиофизики используются понятия и аппарат теории вероятности и математической статистики. Некоторые вероятностные характеристики, применяемые в статистической радиофизике:

• вероятность;
• плотность вероятности;
• дисперсия случайной величины;
• математическое ожидание;
• корреляционная функция;
• спектральная плотность;
• функция распределения;
• характеристическая функция случайной величины;
• распределение Пуассона и др.

Математической основой статистической радиофизики является теория случайных функций. При этом используются понятия случайного процесса и случайного поля^[13].

• Случайный процесс (или стохастический процесс) — это случайная функция времени.

Примеры случайных процессов в радиофизике: флуктуации в автоколебательных системах; шумы в приёмных и измерительных устройствах; флуктуации сигналов в процессе распространения.

Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы, которые не изменяют свои характеристики с течением времени. Такие процессы имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения.

• Марковский случайный процесс (процесс без последействия) — случайный процесс, если для любых моментов времени условная функция распределения в момент времени зависит только от предыдущего момента времени.
• Реализация случайного процесса — конкретный вид случайного процесса в определённом опыте.
• Случайное поле — это случайная функция нескольких переменных. При этом различают скалярные и векторные поля.

Примеры случайных полей в радиофизике: случайные тепловые и турбулентные неоднородности среды, которые вызывают рассеяние радиоволн; случайные пульсации рефракции; колебания интенсивности и фазы волны в месте приёма.

Проявления случайных полей в физике и технике разнообразны. Случайным (гауссовским) является электромагнитное поле, излучаемое не лазерным источником света. Из-за внутренних флуктуаций в генераторе, флуктуаций параметров антенной системы следует рассматривать как случайное и поле излучения радиопередатчика. Модель случайного поля оказывается наиболее адекватной при описании излучения многомодового лазера. Одним из типов случайных полей являются случайные волны.

Предметом изучения статистической радиофизики являются флуктуации и шумы в различных радиотехнических устройствах.

Проблема флуктуаций (шумов) становится тем существеннее, чем всё более чувствительными становятся измерительные (или приёмные устройства) и чем более высокие требуются скорости передачи информации. Изучение шумов включает в себя анализ основ теории случайных процессов, рассмотрение моделей шумов и методов анализа и обработки сигналов в условиях шумов.

Для описания шумов в статистической радиофизике используют, например, такие модели, как белый шум, аддитивный белый гауссовский шум, модель шума Лихтера (описывает поле атмосферных шумов, состоящего из шумового фона и отдельных редких, случайно распределённых во времени и по амплитуде, импульсов)^[14].

Статистическая радиофизика занимается изучением стохастических явлений в колебательных и волновых процессах. В математическом плане это сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений. К ним относятся линейные или нелинейные дифференциальные уравнения со случайными начальными или краевыми условиями, случайными параметрами (коэффициентами) и случайными внешними силами. Решение таких уравнений состоит в нахождении средних и корреляционных функций для случайного неизвестного процесса или поля^[15].

Несмотря на многообразие физических систем, в которых протекают случайные явления, подавляющее число явлений удаётся описать сравнительно небольшим числом математических моделей. Часто для построения модели не требуется знания микроскопической картины процесса и деталей его физического механизма. Например, это имеет место, если выполнены условия центральной предельной теоремы теории вероятностей. Тогда процесс является нормальным (гауссовским), так что известна его многомерная функция распределения.

Гауссовское распределение устойчиво только для линейных систем с постоянными или регулярно изменяющимися параметрами. Статистика процесса, распространяющегося в нелинейной системе или в линейной системе со случайными параметрами, может существенно отклоняться от гауссовской. Выполнение для линейных систем принципа суперпозиции позволяет широко использовать аппарат спектрально-корреляционной теории. Также в статистической радиофизике рассматриваются нелинейные преобразования случайных процессов — случайный процесс на выходе нелинейной системы, преобразование закона распределения случайного процесса на выходе нелинейной безынерционной системы.

В статистической радиофизике используется ряд теорем, формул и уравнений, в том числе:

• центральная предельная теорема (ЦПД);
• формулы Винера — Хинчина (теорема Винера — Хинчина) устанавливают связь между корреляционной функцией R(t) и спектральной плотностью мощности G(f) стационарного случайного процесса через взаимно-обратные преобразования Фурье;
• теорема Котельникова для случайного процесса с ограниченным спектром;
• уравнение Фоккера — Планка (также известно как прямое уравнение Колмогорова);
• уравнение Винера — Хопфа.

Флуктуационные уравнения имеют вид обычных уравнений движения, описывающих динамические процессы в той или иной физической системе. Но параметры этих уравнений заданы как некоторые случайные (флуктуирующие) функции или как постоянные с известными статистическими свойствами. При решении этих уравнений важным является не только определение функции x(t), сколько выяснение различных вероятностных характеристик случайных процессов.

Методы теории случайных процессов в статистической радиофизике не встречают принципиальных трудностей, если дифференциальное уравнение является линейным. Однако трудности многократно возрастают в случае нелинейных уравнений. Наряду с нелинейностью, сложным является также учёт случайно изменяющихся параметров системы. Поэтому для наиболее интересных задач теории колебаний и теории волн, статистической радиофизики решающее значение приобретает разработка методов вычисления средних (в ряде случаев — и распределения вероятностей) в условиях, когда точные решения неизвестны.

В теории случайных процессов разработан ряд специальных методов, которые позволяют устанавливать статистические характеристики. Эти методы иногда называют стохастическими, подчёркивая, что в них с самого начала используется случайность (стохастичность) исследуемого процесса. Используя стохастические методы, можно, исходя из дифференциального уравнения для x и минуя его аналитическое решение, получать уравнения (тоже дифференциальные) непосредственно для статистических характеристик — моментов, распределения вероятностей и т. п.^[16]

Приведём примеры стохастических методов, которые позволяют получать уравнения для статистических характеристик при решении задач статистической радиофизики.

• Усреднение решения уравнения.

Если уравнение допускает аналитическое решение, статистические характеристики можно найти путём усреднения этого решения.

• Функциональный подход.

Можно получить замкнутые уравнения (или системы уравнений) для вероятностных характеристик нелинейной динамической системы непосредственно из стохастических уравнений её движения.

• Разложение решений уравнений в ряды по неслучайным собственным функциям.

Возможны два варианта: явное представление решений в виде рядов Фурье или расчёт зависящих от времени коэффициентов при собственных функциях как решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В обоих вариантах далее следует вычисление необходимых вероятностных характеристик решений исходных задач по стандартным формулам.

В статистической радиофизике для обработки данных используют, методы математической статистики^[17].

• Метод построения специальных критериев равномерности.

Позволяет проверять гипотезы о принадлежности выборки случайных величин равномерному закону распределения вероятностей. Данный метод используется для решения многоальтернативных параметрических задач, например, связанных с обнаружением сигналов.

• Метод разделяющих разбиений.

Основан на анализе характера функциональной связи вероятностей попадания наблюдений в амплитудные интервалы или вероятностей превышения уровней случайным процессом. Данный метод используется для построения процедур различения гипотез, анализа помеховой обстановки и устойчивого приёма сигналов на фоне помех.

• Метод проверки гипотез согласия.

Используется для анализа экспериментальных данных, где выдвигается гипотеза о том, что исследуемая случайная величина подчиняется заданному эмпирическому закону распределения.

• Метод моментов.

Основан на использовании выражений для моментов рассматриваемых случайных величин через параметры их функций распределения.

• Метод максимального правдоподобия.

Логарифм функции правдоподобия представляет собой плотность распределения, максимум которой даёт наиболее правдоподобную оценку параметров сигнала. Данный метод используется для решения задач разделения (фильтрации) импульсов радиосигналов.

• Статистика экстремальных значений.

Применяется при решении задач, связанных с анализом флуктуационных явлений при распространении радиоволн в различных средах, эффективности процедур обнаружения и обработки радиосигналов на фоне помех и др.

Понятия, методы и идеи статистической радиофизики используются^[18]:

• при исследовании шумов в радиотехнических устройствах, трансформации внешних и внутренних шумов при преобразованиях сигнала в аппаратуре, для обнаружения сигнала на фоне шума анализа;
• для изучения распространения волн в случайно-неоднородных средах, включая природные образования;
• при анализе процессов параметрического усиления и преобразования частоты;
• для исследования радиопомех естественного и искусственного происхождения;
• для создания оптимальных методов приёма и анализа сигналов в реальных условиях, связанных с шумами приёмных устройств, флуктуациями сигналов в процессе распространения, искусственными или естественными помехами.