Призматический однородный многогранник
Призматический однородный многогранник — однородный многогранник с диэдральной симметрией. Они образуют два бесконечных семейства, однородные призмы и однородные антипризмы. Все они имеют вершины на двух параллельных плоскостях, а потому все они являются призматоидами.
Вершинная конфигурация и группы симметрии
Поскольку они являются изогональными (вершинно-транзитивными), их расположение вершин однозначно соответствует группам симметрии.
Разница между призматическими и антипризматическими группами симметрии заключается в том, что Dph имеет рёбра, связывающие вершины на двух плоскостях, перпендикулярные этим плоскостям, что задаёт плоскость симметрии, параллельную многоугольникам, в то время как Dpd имеет скрещивающиеся рёбра, что даёт вращательную симметрию. Каждое тело имеет p плоскостей отражений, которые содержат p-кратные оси многоугольников.
Группа симметрии Dph содержит центральную симметриию тогда и только тогда, когда p чётно, в то время как Dpd содержит центральную симметрию тогда и только тогда, когда p нечётно.
Список
Существуют:
- Призмы для каждого рационального p/q > 2 с группой симметрии Dph;
- Антипризмы для каждого рационального p/q > 3/2 с группой симметрии Dpd, если q нечётно и Dph если чётно.
Если p/q является целым числом, т.е. q = 1, призма или антипризма выпукла. (Дробь всегда считается несократимой.)
Антипризма с p/q < 2 является самопересекающейся или вырожденной, её вершинная фигура походит на галстук-бабочку. С p/q ≤ 3/2 однородных антипризм не существует, поскольку их вершинная фигура нарушила бы неравенство треугольника.
Рисунки
Замечание: Тетраэдр, куб и октаэдр перечислены ниже как имеющие диэдральную симметрию (как диагональная антипризма, квадратная призма и треугольная антипризма соответственно), хотя, при однородной раскраске, тетраэдр также имеет тетраэдральную симметрию, а куб и октаэдр имеют октаэдральную симметрию.
Примечания
Литература
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — .
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 175. — ISBN 0-521-55432-2.
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 3. — С. 447–457. — doi:10.1017/S0305004100052440..
