Список групп сферической симметрии

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая, циклическая, тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия и икосаэдральная симметрия.

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса, записи Коксетера ^[1], орбифолдной записи ^[2] и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов, с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию ^[3].

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии, 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 ^[4].

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями: тождественное преобразование (C₁), зеркальная симметрия (C_s), вращательная симметрия (C₂), и центральная симметрия (C_i).

Инт.	Геом. ^[5]	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
1	1	11	C₁	C₁	][ [ ]⁺	1
2	2	22	D₁ = C₂	D₂ = C₂	[2]⁺	2

Инт.	Геом.	Ориб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
1	22	×	C_i = S₂	CC₂	[2⁺,2⁺]	2
2 = m	1	*	C_s = C_1v = C_1h	±C₁ = CD₂	[ ]	2

Существуют четыре бесконечных семейства циклической симметрии с n=2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии)

Инт.	Гео	Орб.	Шёнф.	Конвей.	Кокс.	Пор.
2	2	22	C₂ = D₁	C₂ = D₂	[2]⁺ [2,1]⁺	2
mm2	2	*22	C_2v = D_1h	CD₄ = DD₄	[2] [2,1]	4
4	42	2×	S₄	CC₄	[2⁺,4⁺]	4
2/m	22	2*	C_2h = D_1d	±C₂ = ±D₂	[2,2⁺] [2⁺,2]	4

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	[3]⁺ [4]⁺ [5]⁺ [6]⁺ [n]⁺	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	CD₆ CD₈ CD₁₀ CD₁₂ CD_2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	±C₃ CC₈ ±C₅ CC₁₂ CC_2n / ±C_n	[2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]	6 8 10 12 2n
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m	32 42 52 62 n2	3* 4* 5* 6* n*	C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	CC₆ ±C₄ CC₁₀ ±C₆ ±C_n / CC_2n	[2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]	6 8 10 12 2n

Существует три бесконечных семейства с диэдральной симметрией с n равным 2 и выше. (n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
222	2.2	222	D₂	D₄	[2,2]⁺	4
42m	42	2*2	D_2d	DD₈	[2⁺,4]	8
mmm	22	*222	D_2h	±D₄	[2,2]	8

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 n.2	223 224 225 226 22n	D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	6 8 10 12 2n
3m 82m 5m 12.2m	62 82 10.2 12.2 n2	23 24 25 26 2*n	D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	±D₆ DD₁₆ ±D₁₀ DD₂₄ DD_4n / ±D_2n	[2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	12 16 20 24 4n
6m2 4/mmm 10m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	DD₁₂ ±D₈ DD₂₀ ±D₁₂ ±D_2n / DD_4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Существует три типа симметрии многогранников: тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия и икосаэдральная симметрия, названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
23	3.3	332	T	T	[3,3]⁺ = [4,3⁺]⁺	12
m3	43	3*2	T_h	±T	[4,3⁺]	24
43m	33	*332	T_d	TO	[3,3] = [1⁺,4,3]	24

Октаэдральная симметрия
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
432	4.3	432	O	O	[4,3]⁺ = [[3,3]]⁺	24
m3m	43	*432	O_h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Икосаэдральная симметрия
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
532	5.3	532	I	I	[5,3]⁺	60
532/m	53	*532	I_h	±I	[5,3]	120

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. 165. — ISBN 0-486-67839-3.

Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
Хестенес, Дэвид, J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514.

Finite spherical symmetry groups
Weisstein, Eric W. Schoenflies symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Crystallographic point groups (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type, by David I. McCooey

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Список групп сферической симметрии

Симметрии-инволюции

Циклическая симметрия

Диэдральная симметрия

Симметрии многогранников

См. также

Примечания

Литература

Внешние ссылки