Равносторонний многоугольник

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если ${\displaystyle n}$ — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный^[1].

Все равносторонние четырёхугольники выпуклы, но существуют вогнутые равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной ${\displaystyle a}$ существует^[2] главная диагональ ${\displaystyle d_{1}}$, такая что:

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2}$,

и главная диагональ ${\displaystyle d_{2}}$, такая, что:

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$.

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный^[3][4].

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников^[5]. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$, притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=0}$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=0}$.

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы ${\displaystyle (-b_{i},a_{i})}$, и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону ${\displaystyle i}$ будет задаваться уравнением ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0}$. Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки ${\displaystyle (x,y)}$ плоскости будет равно ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}}$ (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$, то есть, не зависит от положения точки.

• Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то правильный ${\displaystyle n}$-угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр^[6].
• Правильный ${\displaystyle n}$-угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если ${\displaystyle n}$ нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при ${\displaystyle n}$ нечётном решение единственно только для простых ${\displaystyle n}$.
• Если ${\displaystyle n}$ чётно и ${\displaystyle n\geqslant 6}$, то правильный ${\displaystyle n}$-угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
• Если ${\displaystyle n}$ имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.