Модель Пуанкаре

Модель Пуанкаре или Диск Пуанкаре — модель пространства Лобачевского на основе обычного евклидова пространства.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна^[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

Данная модель была впервые описана Бернхардом Риманом в лекции 1854 года (опубликована в 1868 году), вне связи с геометрией Лобачевского. Публикация этой лекции вдохновила Эудженио Бельтрами на написание статьи 1868 года^[2].

Модель Пуанкаре стала широко известна после публикации Пуанкаре философского трактата «Наука и гипотеза» (1905 год), там он описал мир «диска Пуанкаре», в котором пространство евклидово, но его обитателям кажется, что оно удовлетворяет аксиомам геометрии Лобачевского. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей $(a,\;b,\;b')$ , перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой $ds$ плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является:

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),

где $x$ и $y$ — оси абсцисс и ординат, соответственно^[3].

Аналогично, для модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Расстояния

В комплексных координатах на единичном круге расстояния можно вычислить с помощью следующей формулы:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.

Расстояние можно выразить через двойное отношение. Если на дуге $w_{1}$ , $z_{1}$ точки расположены в следующем порядке: $w_{1}$ , $w$ , $z$ , $z_{1}$ то расстояние между точками $w$ и $z$ , в геометрии Лобачевского равняется:

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)

.

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика $ds$ плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид^[3]:

ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})

,

где $u$ и $v$ — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

↑ Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2007. Архивировано 20 марта 2022 года.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
перевод: Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.
↑ ¹ ² Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.

Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре.
Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6.

Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в модели Пуанкаре.

[1] Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2007. Архивировано 20 марта 2022 года.

[2] Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
перевод: Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.

[Buyalo-3] ¹ ² Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.

[1]

[2]

[3]

Модель Пуанкаре

История

Модели в круге и в шаре

Расстояния

Модели на полуплоскости и в полупространстве

Примечания

Литература

См. также

Категории