В 1977 году Савельев окончил механико-машиностроительный факультет Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина (ныне — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет) по специальности «строительные и дорожные машины и оборудование, строительство»[4].
1977—1980 — инженер пусконаладочного отдела Ленинградского филиала Всесоюзного института «Оргэнергострой» Минэнерго СССР, Ленинград
1980—1984 — начальник технического отдела, главный конструктор управления подсобных предприятий УС «Красноярскэнергострой», Минэнерго СССР, СаяногорскКрасноярского края
1984 — руководитель группы отдела КР-3 Ленинградского филиала всесоюзного института «Оргэнергострой» Минэнерго СССР, Ленинград
1984—1987 — исполняющий обязанности главного технолога, главный технолог, исполняющий обязанности управляющего, заместитель управляющего треста «Севзапметаллургмонтаж» Минмонтажспецстроя СССР, Ленинград
1987—1988 — заместитель начальника Главного управления по строительству инженерных сооружений «Главленинградинжстрой», Ленинград
1988—1991 — директор Ленинградского филиала совместного советско-американского предприятия «Диалог», Ленинград
1991—1993 — генеральный директор советско-американского АО «Диалог-инвест», Санкт-Петербург
1993—1995 — председатель правления акционерного банка «Россия», Санкт-Петербург
2001—2002 — заместитель председателя правления ОАО «Газпром», г. Москва
2002—2004 — вице-президент по финансовым вопросам ООО «Объединённая компания ГРОС», Красногорск Московской области
2007—2009 — первый вице-президент — руководитель комплекса развития телекоммуникационных активов (система Телеком), первый вице-президент— руководитель бизнес-единицы «Телекоммуникационные активы» ОАО Акционерная финансовая корпорация «Система», Москва
При Савельеве авиакомпания «Аэрофлот» вошла в топ-20 крупнейших авиакомпаний мира по объёму перевозок[5], заняла четвёртое место по цифровизации среди всех авиакомпаний мира по данным американской консалтинговой компании Bain & Company[6].
С целью создания равных конкурентных условий для российских и иностранных авиакомпаний, а также стимулирования снижения стоимости авиабилетов в России, Савельев в разные периоды выступал с законодательными инициативами, на основе которых были приняты изменения в Воздушный кодекс Российской Федерации. В 2014 году он предложил введение т. н. «невозвратных тарифов», в соответствии с которым пассажир в случае отказа от перевозки по дисконтному тарифу отказывался также и от возвращения оплаченных средств за билет[7][8].
В том же 2014 году Савельев выступил с инициативой разрешить российским авиакомпаниям привлекать иностранных граждан в качестве капитанов воздушных судов — в пределах квоты и на условиях, которые устанавливаются правительством РФ[9][10].
В 2017 году Савельев инициировал возможность использования т. н. «безбагажных тарифов», которые предусматривают отсутствие нормы бесплатного провоза зарегистрированного багажа и снижение разрешённого веса ручной клади с 10 кг до 5 кг. Это нововведение вызвало критическую реакцию пассажиров и СМИ[11].
В 2017 году Савельев стал инициатором изменений в Воздушный кодекс РФ, позволивших создавать т. н. «чёрные списки» проблемных пассажиров. Список представлял собой реестр лиц, которым авиакомпания имела право отказать в оказании услуг на основании совершённых ими ранее административных правонарушений на борту воздушного судна, либо приговора суда за совершение таких правонарушений[12].
Савельев впервые в истории России в 2011 году создал холдинговую группу «Аэрофлот». Под управление Аэрофлота перешёл ряд региональных авиакомпаний. В 2014 году под руководством Савельева создана авиакомпания «Победа» — классический лоукостер в составе группы «Аэрофлот». Авиакомпания «Аэрофлот» добилась значительного увеличения числа пассажиров на своих рейсах[13].
В 2019 году «Аэрофлот» перевёз 37,2 млн пассажиров, а вся группа Аэрофлот — 60,7 млн[14].
6 февраля 2016 года Савельев был избран в руководящий орган партии «Единая Россия» — высший совет[15].
11 мая 2024 года Михаил Мишустин внёс на рассмотрение Госдумы новый состав правительства, предложив кандидатуру Савельева на должность вице-премьера[18]. 13 мая Госдума утвердила его на этот пост[19]. 14 мая президент РФ подписал указ о назначении[20]. В должности вице-премьера Савельев отвечает за разработку и контроль национального проекта «Беспилотные авиационные системы», курирует транспортный блок, обеспечение деятельности пунктов пропуска через государственную границу России. Координирует ведомства:
25 ноября 2024 года Владимир Путин назначил Виталия Савельева своим спецпредставителем по развитию международного транспортного коридора «Север — Юг»[23].