Куренков работал учителем физической культуры в школе № 312 Москвы (1995—1999). В 1999 году поступил на службу в органы государственной безопасности. Служил в ФСБ (1999—2002) и Федеральной службе охраны (2002—2021; в частности, работал в охране премьер-министра Виктора Зубкова), позже перешёл в Росгвардию, где был сначала помощником, а потом заместителем руководителя ведомства Виктора Золотова (2021—2022)[5] и отвечал за вопросы, связанные с боевой подготовкой сотрудников. По данным РБК, с 2015 года он занимал должность адъютанта Владимира Путина, позже — должность старшего адъютанта[6].
23 мая 2022 года президент России предложил назначить Куренкова министром по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий[7]. По словам пресс-секретаря главы государства Дмитрия Пескова, выбор кандидатуры обусловлен тем, что «Путин хорошо лично знает Куренкова. И выбор означает, что, по мнению главы государства, личные, служебные, профессиональные качества Куренкова позволят наилучшим образом выполнять эти функции»[8]. Кандидатура Куренкова была одобрена Советом Федерации 25 мая и в этот же день указом президента он был назначен министром[9].
14 мая 2024 года в связи с формированием нового правительства Куренков переназначен на пост главы МЧС РФ[10].
2 июня 2022 года Куренкову присвоено воинское звание генерал-лейтенант.
С 21 октября 2022 года Куренков — член Координационного совета при правительстве Российской Федерации по обеспечению потребности Вооружённых Сил, других войск, воинских формирований и органов[12].
Находится под санкциями США, Евросоюза, Великобритании, Швейцарии, Австралии и Новой Зеландии.
Александр Куренков женат с 2019 года. Супруга Елена Игоревна Мильская (род. 1980) — председатель попечительского совета «Национального центра помощи пропавшим и пострадавшим детям», вице-президент (генеральный директор) Фонда Святителя Василия Великого.