Ряд Тейлора

Отдельные случаи разложения функций в степенные ряды были известны задолго до Брука Тейлора. В начале XV в. математики Керальской школы в Индии получили разложения ${\displaystyle \sin \varphi }$, ${\displaystyle \cos \varphi }$ и ${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x}$ в бесконечные степенные ряды; Нилаканта (1444 — после 1501) привёл ряд для ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ с оценками поправочного члена^[1].

В XVII в. Николаус Меркатор опубликовал разложение ${\displaystyle \ln(1+x)}$ (1668), Джеймс Грегори к 1672 г. вывел ряды для ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\varphi }$, ${\displaystyle \sec \,\varphi }$ и ряда других функций, по-видимому используя последовательное дифференцирование^[2]. Исаак Ньютон в работе «De analysi…» (1669, опубл. 1711) получил разложения для ${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \cos x}$, ${\displaystyle e^{x}}$ методом обращения рядов и извлечения корней, а также распространил бином Ньютона на произвольный действительный показатель. Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо нашёл те же ряды методом неопределённых коэффициентов и сформулировал признак сходимости знакочередующихся рядов^[3][4].

Общую формулу, связывающую коэффициенты степенного ряда со значениями производных функции в произвольной точке, впервые опубликовал Брук Тейлор в книге Methodus incrementorum directa et inversa (1715), выведя её предельным переходом из интерполяционной формулы Ньютона. Колин Маклорен в «Трактате о флюксиях» (1742) доказал, что любое разложение функции по возрастающим целым степеням аргумента совпадает с рядом Тейлора при ${\displaystyle a=0}$, и дал доказательство интегрального признака сходимости^[5].

Строгое определение остаточного члена дал Жозеф Луи Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797), а полное исследование условий применимости формулы Тейлора провёл Огюстен Луи Коши в 1820-х годах.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ бесконечно дифференцируема в некоторой точке ${\displaystyle a}$.

Рядом Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ называется степенной ряд вида^[6]:

${\displaystyle T_{f}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=}$

${\displaystyle =f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }$

Многочленом Тейлора степени ${\displaystyle k}$ называется конечная сумма^[7]:

${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Многочлен Тейлора используется для приближённого вычисления значений функции: ${\displaystyle f(x)\approx P_{k}(x)}$.

В случае ${\displaystyle a=0}$ ряд и многочлен называются рядом и многочленом Маклорена соответственно.

В общем случае функция не обязана совпадать со своим рядом Тейлора. Ряд сходится к ${\displaystyle f(x)}$ только тогда, когда функция является аналитической в точке.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ производные до порядка ${\displaystyle n+1}$ включительно, то^[8]:

${\displaystyle f(x)=P_{n}(x)+R_{n}(x)}$,

где ${\displaystyle P_{n}(x)}$ — многочлен Тейлора степени ${\displaystyle n}$, а ${\displaystyle R_{n}(x)}$ — остаточный член.

Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется аналитической в точке ${\displaystyle a}$, если в некоторой окрестности этой точки она совпадает со своим рядом Тейлора^[9].

Ниже приведены стандартные разложения при ${\displaystyle a=0}$:

• Геометрический ряд:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},\quad |x|<1.}$

• Экспонента:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\quad x\in \mathbb {R} .}$

• Тригонометрические функции:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {R} .}$

• Гиперболические функции:

${\displaystyle \operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {R} .}$

• Арктангенс:

${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|\leq 1.}$

• Натуральный логарифм:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}},\quad x\in (-1,\,1].}$

• Биномиальный ряд:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},\quad |x|<1.}$

Если ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ представимы рядами Тейлора в окрестности точки ${\displaystyle a}$, то:

• ряд ${\displaystyle f\pm g}$ равен почленной сумме (разности) рядов;
• ряд произведения ${\displaystyle f\cdot g}$ равен произведению Коши рядов;
• если ${\displaystyle g(a)=0}$, ряд композиции ${\displaystyle f(g(x))}$ получается подстановкой;
• степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри круга сходимости с сохранением радиуса сходимости.

Для функции ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ с непрерывными частными производными до порядка ${\displaystyle m+1}$ в окрестности точки ${\displaystyle \mathbf {a} }$ формула Тейлора записывается с использованием мультииндексов^[12]:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\leq m}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }+R_{m}(\mathbf {x} )}$,

где ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$, ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}$.

• Ряд Лорана — допускает отрицательные степени ${\displaystyle (z-a)^{-n}}$; применяется в окрестности изолированных особых точек.
• Ряд Пюизо — допускает дробные степени аргумента.

• Приближённые вычисления значений трансцендентных функций.
• Раскрытие неопределённостей вида ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$, ${\displaystyle \infty -\infty }$ и др.
• Физика: линеаризация уравнений движения, релятивистские поправки.
• Численные методы: метод Эйлера, методы Рунге — Кутты, построение разностных схем.
• Теория вероятностей: разложение характеристической функции для вычисления моментов^[13].