Приближённые вычисления

Узнать больше

Узнать больше в энциклопедической статье

Перейти

Экспертиза РАН

Проводится экспертиза
Российской Академией Наук

Подробнее

Материал ОГЭ/ЕГЭ

База знаний для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, проверенная Российской Академией наук

Подробнее

Приближённые вычисле́ния — это методы в математике, позволяющие находить приближённые значения величин, когда точное вычисление затруднено или невозможно. Такие вычисления широко используются в науке и технике при решении реальных задач, где необходимы быстрые и достаточно точные результаты.

Основные понятия

Аппроксимация — замена сложного объекта более простым, приблизительно равным исходному. Она позволяет исследовать свойства объектов, используя упрощённые модели. Примеры аппроксимации:

Представление сложной функции в виде суммы простых функций;
Приближенное вычисление значений функций с помощью многочленов.

Округление — процесс замены числа другим числом с меньшим количеством значащих цифр, близким к исходному по значению. Округление упрощает вычисления, но вводит погрешность.

Погрешность — разница между истинным значением величины и её приближённым значением. Погрешности возникают при измерениях, вычислениях и представлении чисел в компьютере.

Погрешности

Абсолютная погрешность — величина, равная модулю разности между приближённым и точным значениями. Если число $a$ мало отличается от числа $x$ , то это число приближённо равно числу $x$ . Тогда абсолютная погрешность равна:

 $\Delta x=|x-a|$ . Если задана точность приближения h, то пишут  $x=a\pm h$ , что означает  $a-h\leqslant x\leqslant a+h$ .

Например, запись $\pi =3,14\pm 0,01$ означает, что число $\pi$ равно $3,14$ с точностью до сотых^[1].

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к точному значению, выраженное в процентах:

  $\delta x=\left({\dfrac {\Delta x}{|x|}}\right)\times 100\%$

Методы приближённых вычислений

Арифметические действия с приближёнными значениями действительных чисел

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближённых значения.

Сложение и вычитание приближённых чисел

Чтобы вычислить приближённую сумму (разность) двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем сложить (вычесть) полученные приближения.
Пример.
Пусть даны числа $a=23,18345674;b=-4,2375$ . Найдём их сумму и разность с точностью до одной сотой.

Округлим данные числа с точностью до одной сотой: $a\approx 23,18;b\approx -4,24$ .

Вычислим их сумму и разность: $a+b\approx 23,18+(-4,24)\approx 23,18-4,24\approx 18,94$ ; $a-b\approx 23,18-(-4,24)\approx 23,18+4,24\approx 27,42$ .

Умножение и деление приближённых чисел

Чтобы вычислить приближённую произведение (частное) двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить (разделить) полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.
Пример.
Пусть даны числа $a=135,78665;b=0,0068751$ . Найдём их произведение и частное с точностью до третьей значащей цифры.

Округлим данные числа с точностью до одной сотой: $a\approx 136;b\approx 0,00688$ .

Вычислим их произведение и частное, и округлим полученный результат с точностью до третьей значащей цифры: $a*b\approx 136*0,00688=0,93568\approx 0,936$ ; ${\frac {a}{b}}\approx {\frac {136}{0,00688}}=19767,4...\approx 19800$ .^[2]

Вычисление квадратных корней

Нахождение приближённого значения арифметического квадратного корня^[3].

Пример. Найдём приближённое значение ${\sqrt {2}}$ с точностью до тысячных.

Так как $1^{2}<2$ , а $2^{2}>2$ , то число ${\sqrt {2}}$ заключено между целыми числами 1 и 2.
Значит, десятичная запись числа ${\sqrt {2}}$ начинается так: ${\sqrt {2}}=1,...$ .
Найдём цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби $1,1;1,2;1,3...$ до тех пор, пока не получим число больше 2:
$1,1^{2}=1,21;1,2^{2}=1,44;1,3^{2}=1,69...1,5^{2}=2,25$ .
Так как $1,4^{2}<2$ , а $1,5^{2}>2$ , то $1,4<{\sqrt {2}}<1,5$ , следовательно ${\sqrt {2}}=1,4..$ .
Найдём цифру сотых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби $1,41;1,42...$ :
$1,41^{2}=1,9881;1,42^{2}=2,0164$ .
Так как $1,41<{\sqrt {2}}<1,42$ , следовательно ${\sqrt {2}}=1,41..$ .
Аналогично найдём цифру тысячных и получим результат:
${\sqrt {2}}\approx 1,414..$ .

Метод Герона (Вавилонский метод) — итеративный алгоритм для вычисления квадратного корня числа $S$ :

 1. Выбирается начальное приближение  $x_{0}$  (например,  $x_{0}=S$ ).
 2. Вычисляется новое приближение по формуле:
     $x_{n+1}={\dfrac {1}{2}}\left(x_{n}+{\dfrac {S}{x_{n}}}\right)$ 
 3. Процесс повторяется до достижения необходимой точности.

Метод Бахшали — древний индийский метод, основанный на разложении и итеративном улучшении приближений:

  $x_{n+1}=x_{n}-{\dfrac {(x_{n}^{2}-S)}{2x_{n}+{\dfrac {(x_{n}^{2}-S)}{2x_{n}}}}}$

Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений функции по известным значениям в заданных точках. Основной инструмент — интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен Лагранжа^[4].

Экстраполяция — метод прогнозирования значений функции за пределами известного интервала данных на основе её поведения внутри этого интервала.

Численное интегрирование

Метод прямоугольников — приближенное вычисление определённого интеграла:

 : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\dfrac {a+b}{2}}\right)$

Метод трапеций:

 : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\dfrac {b-a}{2}}[f(a)+f(b)]$

Формула Симпсона — использует параболы для повышения точности:

 : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\dfrac {b-a}{6}}[f(a)+4f\left({\dfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)]$

Особенности вычислений на компьютере

Представление чисел в компьютере ограничено из-за дискретной природы памяти. Это ведёт к возникновению ошибок округления при представлении вещественных чисел.

Потери точности — при вычитании близких чисел значащие цифры могут теряться, увеличивая относительную погрешность результата.

Устойчивость алгоритмов — алгоритм считается устойчивым, если малые изменения входных данных приводят к малым изменениям результата.

Программное обеспечение для приближённых вычислений

Специализированные программы и пакеты:

  MATLAB
  Mathematica
  Maple

Языки программирования с библиотеками численных методов:

  Fortran
  Python с библиотеками NumPy и SciPy

Заключение

Приближённые вычисления являются неотъемлемой частью математического инструментария, особенно в условиях, когда точные решения невозможны или сложны. Понимание методов приближённых вычислений и умение оценивать погрешности позволяют решать широкий круг практических задач в науке, инженерии и экономике.

Примечания

↑ Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. Алгебра. 9 класс. — М., 2014. — С. 301. — 304 с.
↑ Никольский С. М. Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. — М., 2019. — С. 38-40. — 287 с.
↑ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. 8 класс. — М., 2013. — С. 81. — 287 с.
↑ Интерполяционный многочлен Лагранжа (неопр.).

Литература

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. Учебник «Математика. 6 класс. В 2-х частях. Часть вторая» (рус.). — 2023.
Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. Учебник «Математика. 6 класс. В 2-х частях. Часть вторая» (рус.). — 2023.
Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С. Учебник «Математика. 5 класс. Учебник. В 2-х частях» (рус.). — 2023.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Учебник «Алгебра 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений» (рус.). — 2013.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Учебник «Алгебра 8 класс. Базовый уровень» (рус.). — 2023.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О. Учебник «Алгебра. 9 класс» (рус.). — 2014.

[1] Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. Алгебра. 9 класс. — М., 2014. — С. 301. — 304 с.

[2] Никольский С. М. Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. — М., 2019. — С. 38-40. — 287 с.

[3] Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. 8 класс. — М., 2013. — С. 81. — 287 с.

[4] Интерполяционный многочлен Лагранжа (неопр.).

[1]

[2]

[3]

[4]