Линейная независимость

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем вещественных чисел. Векторы ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}\in V}$ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация ${\displaystyle v=a_{1}{\vec {v_{1}}}+a_{2}{\vec {v_{2}}}+...+a_{n}{\vec {v_{n}}}}$​, равная нулевому вектору.

Если только тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, система векторов называется линейно независимой (то есть линейная комбинация равна нулевому вектору, только если все коэффициенты при ${\displaystyle {\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v_{n}}}}$ равны нулю ${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0}$).

Эквивалентное определение: система векторов линейно зависима, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. Если ни один из векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, векторы линейно независимы^[1].

• Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
• Если система векторов содержит два равных или два противоположных вектора, то она линейно зависима.
• Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
• Если система векторов линейно независима, то и любая её подсистема также линейно независима.
• В конечномерном линейном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ система любых ${\displaystyle n+1}$ векторов линейно зависима.
• Система ненулевых ортогональных векторов линейно независима^[1].

• Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
• Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
• Любые четыре вектора в трёхмерном пространстве линейно зависимы^[1].

Понятие линейной независимости векторов тесно связано с понятиями базиса в подпространстве и ранга матрицы. В частности, определитель квадратной матрицы не равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

Понятие линейной зависимости и независимости элементов вводится также в абелевых группах и модулях^[2].

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ и ${\displaystyle (0,0,1)}$ линейно независимы, так как уравнение

${\displaystyle a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\quad a_{i}\in \mathbb {R} }$ имеет только одно тривиальное решение.

Векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$ и ${\displaystyle (5,0,0)}$ являются линейно зависимыми, так как ${\displaystyle (1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),}$ а, значит, ${\displaystyle -5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).}$