Абелева группа

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$ абелева. Действительно, для любых ${\displaystyle x=a^{n}}$ и ${\displaystyle y=a^{m}}$ верно, что

  ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$.

  • В частности, множество ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,.}$
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.
  

  Пример

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть ${\displaystyle n}$ — натуральное число, а ${\displaystyle x}$ — элемент коммутативной группы ${\displaystyle G}$ с операцией, обозначаемой +, тогда ${\displaystyle nx}$ можно определить как ${\displaystyle x+x+\ldots +x}$ (${\displaystyle n}$ раз) и ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$.
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\;H)}$ всех групповых гомоморфизмов из ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle H}$ само является абелевой группой. Действительно, пусть ${\displaystyle f,\;g:G\to H}$ — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма ${\displaystyle f+g}$, заданная как ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если ${\displaystyle H}$ не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра ${\displaystyle Z(G)}$ группы ${\displaystyle G}$ — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы ${\displaystyle G}$, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ изоморфно прямой сумме ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу ${\displaystyle G}$ в форме прямой суммы

${\displaystyle \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}}$

двумя различными способами:

• Где числа ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}}$ степени простых
• Где ${\displaystyle k_{1}}$ делит ${\displaystyle k_{2}}$, которое делит ${\displaystyle k_{3}}$, и так далее до ${\displaystyle k_{u}}$.

Например, ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}}$ может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: ${\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}}$. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

• Дифференциальной группой называется абелева группа ${\displaystyle \mathbf {C} }$, в которой задан такой эндоморфизм ${\displaystyle d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$, что ${\displaystyle d^{2}=0}$. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра ${\displaystyle \ker \,d}$ — циклами, элементы образа ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d}$ — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

• Протокол Диффи-Хеллмана. Использует абелевы группы (например, мультипликативные группы по модулю простого числа) для безопасного обмена ключами.
• Криптография на эллиптических кривых. Точки на эллиптической кривой образуют абелеву группу. Это обеспечивает высокую безопасность при коротких ключах (используется в блокчейнах и защищенных мессенджерах).
• Теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки (например, в спутниковой связи или на жёстких дисках), часто строятся на структурах конечных абелевых групп.

• Кристаллография. Описывают симметрии решеток кристаллов. Существуют специальные «кристаллографические абелевы группы».
• Векторные пространства. Векторы по операции сложения всегда образуют абелеву группу.
• Топология. Группы гомологий и когомологий, которые помогают математикам различать геометрические фигуры (например, сферу от тора), являются абелевыми.

• Циферблат часов. Сложение часов по модулю 12 — конечная циклическая абелева группа.
• Целые числа. Обычное сложение чисел (положительных и отрицательных).