Найти статью
Модуль (математика)
Модуль (от лат. modulo — «относительно модуля», аблатив от modulus — «малая мера») в математике — термин, часто используемый для утверждения, что два различных математических объекта можно считать эквивалентными — если их различие объясняется дополнительным фактором. Изначально был введён в математику в контексте модульной арифметики Карлом Фридрихом Гауссом в 1801 году[1]. С тех пор термин приобрёл множество значений — как точных, так и неточных (например, отождествление «модуля» с «за исключением»)[2]. Чаще всего термин встречается в утверждениях вида:
- A то же самое, что и B по модулю C
что часто эквивалентно выражению «A то же самое, что и B с точностью до C» и означает:
- A и B совпадают — за исключением различий, объясняемых C.
Общие сведения
Что важно знать
История
«Модуль» — это математический термин, введённый в науку в книге Арифметические исследования Карла Фридриха Гаусса в 1801 году[3]. Для целых чисел a, b и n выражение «a ≡ b (mod n)», произносится как «a сравнимо с b по модулю n», означает, что разность a − b делится нацело на n, или, что то же самое, a и b дают одинаковый остаток при делении на n. Это латинский аблатив от modulus, что означает «малая мера»[4].
Термин со временем приобрёл множество значений — как точных, так и неточных. Наиболее общее строгое определение даётся через эквивалентностное (или конгруэнтное) отношение R, где a эквивалентно (или конгруэнтно) b по модулю R, если aRb.
Использование
Изначальное употребление
Гаусс изначально использовал термин «по модулю» следующим образом: для целых чисел a, b и n выражение a ≡ b (mod n) (произносится как «a сравнимо с b по модулю n») означает, что разность a − b делится нацело на n, или, что то же самое, a и b дают одинаковый остаток при делении на n. Например:
- 13 сравнимо с 63 по модулю 10
означает, что
- 13 − 63 делится на 10 (или, что 13 и 63 различаются на кратное 10).
Информатика
В информатике и теоретической информатике термин может использоваться в нескольких значениях:
- В вычислениях это, как правило, операция взятия остатка по модулю: для двух чисел (целых или вещественных) a и n, a по модулю n — это остаток от деления a на n при определённых условиях.
- В теории категорий, применяемой в функциональном программировании, «действовать по модулю» — это специальный жаргон, означающий отображение функтора в категорию с выделением или определением остатков[5].
Структуры
Термин «по модулю» может использоваться по-разному в зависимости от рассматриваемых математических структур. Например:
- Два элемента a и b группы сравнимы по модулю нормальной подгруппы тогда и только тогда, когда ab−1 принадлежит нормальной подгруппе.
- Два элемента кольца или алгебры сравнимы по модулю идеала, если их разность принадлежит идеалу.
- В качестве глагола, процесс факторизации по нормальной подгруппе (или идеалу) часто называют «факторизацией по модулю…» или «факторизуем по…».
- Два подмножества бесконечного множества равны по модулю конечных множеств тогда и только тогда, когда их симметрическая разность конечна, то есть можно удалить из первого подмножества конечное множество, затем добавить другое конечное множество, и получить второе подмножество.
- Короткая точная последовательность отображений приводит к определению фактор-пространства как пространства по модулю другого; например, когомология — это пространство замкнутых форм по модулю точных форм.
Факторизация по модулю
В общем случае, факторизация по модулю (от англ. modding out) — это неформальный термин, означающий объявление эквивалентными тех объектов, которые в противном случае считались бы различными. Например, если последовательность 1 4 2 8 5 7 считается эквивалентной последовательности 7 1 4 2 8 5, поскольку каждая из них является циклическим сдвигом другой:
В этом случае говорят, что производится факторизация по циклическим сдвигам.