Эллипсоид Френеля

В кристаллооптике, в частности, рассматривается задача прохождения света в кристаллах с учётом их внутренней структуры, определяющей изотропность или анизотропию их свойств. К изотропным средам относятся кристаллы с кубической решёткой, некоторые аморфные тела, жидкости и газы. Распространение электромагнитных волн (света) в кристаллах можно описать в терминах диэлектрической проницаемости. Для изотропных сред диэлектрическая проницаемость является коэффициентом пропорциональности между векторами ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {D}}}$^[2][3]:

где ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства (${\displaystyle \epsilon _{0}=8,85418781762039\cdot 10^{-12}{\Biggl [}{\frac {\text{Ф}}{\text{м}}}{\Biggl ]}}$).

В случае анизотропных сред диэлектрическая проницаемость (соответственно, и показатель преломления, так как ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon }}}$) зависят от направления распространения световой волны. В таких кристаллах может наблюдаться явление двойного лучепреломления — расщепления падающей на кристалл световой волны на две ортогонально поляризованные волны, распространяющиеся в разных направлениях с разными скоростями. Анизотропные кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, широко распространены в природе — кварц, исландский шпат, турмалин относят к группе одноосных кристаллов, у которых существует только одно направление, вдоль которого свет распространяется с одной и той же скоростью (оптическая ось кристалла). Группу кристаллов с двумя такими направлениями называют двуосными (например, слюда, гипс)^[4].

В общем случае в кристаллах и других анизотропных средах связь между векторами ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {D}}}$ описывается через тензор вида:

или, сокращённо:

${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\epsilon _{ij}E_{j},\;\;\;i={\Biggl \{}1,2,3{\Biggl \}},\;\;\;j={\Biggl \{}1,2,3{\Biggl \}}.}$

Тензор диэлектрической проницаемости симметричен: ${\displaystyle -\epsilon _{ij}=\epsilon _{ij}}$. Для любого кристалла можно подобрать систему координат так, чтобы этот тензор ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ стал диагональным. Оси такой системы координат называют главными осями кристалла. Для таких осей тензор диэлектрической проницаемости имеет вид:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\epsilon _{xx}&\epsilon _{xy}&\epsilon _{xz}\\\epsilon _{yx}&\epsilon _{yy}&\epsilon _{yz}\\\epsilon _{zx}&\epsilon _{zy}&\epsilon _{zz}\end{pmatrix}}\Rightarrow {\begin{pmatrix}\epsilon _{x}&0&0\\0&\epsilon _{y}&0\\0&0&\epsilon _{z}\end{pmatrix}}}$,

а для главных осей справедливо выражение:

представляющее собой уравнение эллипсоида. Видно, что оси эллипсоида Френеля пропорциональны скоростям света вдоль главных осей кристалла. Уравнение эллипсоида Френеля можно переписать в терминах показателя преломления, поскольку ${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon }}}$:

Анализ уравнения эллипсоида Френеля показывает, что при выполнении условия ${\displaystyle \epsilon _{x}=\epsilon _{y}\neq \epsilon _{z}}$ эллипсоид Френеля представляет собой эллипсоид вращения, две оси которого совпадают, и такой кристалл называют одноосным (оптическая ось совпадает с осью ${\displaystyle z}$). В двуосных кристаллах (с триклинной, моноклинной и орторомбической типами решёток) выполняется соотношение ${\displaystyle \epsilon _{x}\neq \epsilon _{y}\neq \epsilon _{z}}$.

Принято обозначать большую ось ${\displaystyle N_{g}}$, среднюю ${\displaystyle N_{m}}$ и меньшую ось ${\displaystyle N_{p}}$. На рисунке представлены эллипсоиды Френеля в случае оптически положительного кристалла (А) и оптически отрицательного кристалла (Б).