Формулы сокращённого умножения многочленов

• ${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}$ - квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• ${\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}$ (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

${\displaystyle ba-ab=0}$

и остаётся

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}$.

Чтобы это было равно ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$, мы должны иметь

${\displaystyle ba-ab=0}$

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

• ${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}$ - куб суммы (разности) двух чисел
• ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}$ - сумма (разность) кубов
• ${\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}$ - куб суммы

• ${\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}$ (выводится из ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$)
• ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}$

• ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}$
• ${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}$, где ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}$
• ${\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}$, где ${\displaystyle n\in N}$

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$
• ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}$
• ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)}$

Для произвольной чётной степени:

• ${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}$, где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• ${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}$, где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}$ пробегает все n возможных значений

• ${\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}$, где ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}$, где ${\displaystyle n\in N}$