Таблица первообразных

Первообразной для функции ${\displaystyle f(x)}$ называется такая функция ${\displaystyle F(x)}$, производная которой равна исходной функции: ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$^[1]. Поскольку производная константы равна нулю, для любой функции существует бесконечное множество первообразных, которые записываются в виде ${\displaystyle F(x)+C}$, где ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная^[3].

Ниже приведены основные формулы для нахождения первообразных элементарных функций^[1].

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Общий вид первообразных ${\displaystyle F(x)}$
${\displaystyle k}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$)	${\displaystyle kx+C}$
${\displaystyle x^{p}}$ (${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle p\neq -1}$)	${\displaystyle {\frac {x^{p+1}}{p+1}}+C}$
${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ (${\displaystyle x\neq 0}$)	${\displaystyle \ln |x|+C}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle e^{x}+C}$
${\displaystyle a^{x}}$ (${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a\neq 1}$)	${\displaystyle {\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$ (${\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n}$)	${\displaystyle \operatorname {tg} x+C}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$ (${\displaystyle x\neq \pi n}$)	${\displaystyle -\operatorname {ctg} x+C}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (${\displaystyle |x|<1}$)	${\displaystyle \arcsin x+C}$
${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {arctg} x+C}$

Найти первообразную для функции ${\displaystyle f(x)=3x^{5}-\cos x+2^{x}}$^[1].

Решение. Воспользовавшись таблицей и правилами нахождения первообразной, имеем: ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}x^{6}-\sin x+{\frac {2^{x}}{\ln 2}}+C}$.

• Потеря константы ${\displaystyle C}$. В неопределённом интеграле отсутствие ${\displaystyle +C}$ считается математической ошибкой, так как теряется целое семейство функций^[2].
• Путаница в знаках. Часто забывают, что первообразная синуса — это минус косинус, а первообразная косинуса — просто синус^[2].
• Ошибки в области определения. Игнорирование условий (например, использование ${\displaystyle \ln x}$ вместо ${\displaystyle \ln |x|}$ или забывание того, что ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ не существует в точках ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi n}$)^[3].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Таблица первообразных

Ключевые понятия:

• Первообразная ${\displaystyle F(x)}$ для функции ${\displaystyle f(x)}$ — функция, производная которой равна исходной функции: ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$.
• Множество всех первообразных задаётся формулой ${\displaystyle F(x)+C}$, где ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.
• Таблица первообразных — основной инструмент для нахождения неопределённых интегралов.

Основные формулы таблицы:

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$ (при ${\displaystyle n\neq -1}$)
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C}$
• ${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx=\operatorname {tg} x+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {ctg} x+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {arctg} x+C}$

Типичные ошибки:

• Потеря константы ${\displaystyle C}$ — это математическая ошибка.
• Путаница в знаках: первообразная синуса — минус косинус, первообразная косинуса — просто синус.
• Игнорирование области определения: ${\displaystyle \ln |x|}$, а не ${\displaystyle \ln x}$.

Важно для ЕГЭ:

• Знание таблицы первообразных обязательно для решения заданий на интегрирование.
• В ЕГЭ по математике профильного уровня задания на первообразную встречаются в задании № 8.
• Применяйте таблицу вместе с правилами нахождения первообразной.