Действительные числа

• Натуральные числа — числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, и так далее. Ноль не является натуральным числом.
• Целые числа — натуральные числа, их отрицания и ноль.
• Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби ${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}}$, где ${\displaystyle p}$ — целое число, а ${\displaystyle q}$ — натуральное число. Их десятичное представление конечное или периодическое.
• Иррациональные числа — числа, не представимые в виде обыкновенной дроби, но их можно записать в виде бесконечной непериодической дроби: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e}$.
• Действительные (вещественные) числа— объединение рациональных и иррациональных чисел^[2].

Числовые множества принято обозначать следующими буквами:

${\displaystyle \mathbb {N} }$ — множество натуральных чисел: ${\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}}$;

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — множество целых чисел: ${\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}}$;

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множество рациональных чисел: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}|p\in Z,q\in N\right\}}$;

${\displaystyle \mathbb {I} }$ — множество иррациональных чисел;

${\displaystyle \mathbb {R} }$ — множество действительных чисел.

Действительные числа можно сравнивать: для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ верно одно из соотношений ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle a=b}$ или ${\displaystyle a>b}$.

Между любыми двумя различными действительными числами всегда существует другое действительное число. Это означает, что числовая прямая непрерывна без «пробелов».

Действительные числа образуют поле, в котором определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), удовлетворяющие определённым аксиомам (коммутативность, ассоциативность, существование единицы и нуля и т. д.).

Понятие действительного числа является одним из основных в математике. Оно может быть представлено тремя методами. В школьной программе принято введение действительных чисел методом бесконечных десятичных дробей.

Любое действительное число можно записать в виде десятичной дроби.

• Рациональные числа:

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=0{,}5}$; 
${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}=0{,}333\ldots =0,(3)}$.

• Иррациональные числа:

 Любое число вида ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число (${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}}}$ и т.д.): ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,41421356...}$; число ${\displaystyle \pi }$ — отношение длины окружности к её радиусу: ${\displaystyle \pi \approx 3,14159...}$ .

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, и каждой точке на этой прямой — действительное число. Изображение действительного числа — точка ${\displaystyle M}$ — называется координатой точки. Числовая прямая называется также координатной прямой.

Координатная прямая с точкой М

Множество действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ обозначается также ${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$^[3].

• Математический анализ: изучение пределов, непрерывности, производных и интегралов.
• Геометрия: измерение длин, площадей и объёмов.
• Физика: описание непрерывных процессов и величин, таких как время, скорость и энергия.
• Инженерные науки: расчёты в строительстве, электронике и других технических областях.

Действительные числа являются основой для большинства разделов математики и её приложений. Они позволяют описывать и анализировать непрерывные процессы и величины, что необходимо для понимания и решения разнообразных задач в науке и технике.