Асимптоты графиков функций

• Вертикальная асимптота — прямая вида ${\displaystyle x=a}$, к которой функция стремится при подходе аргумента к определённому значению. Прямая ${\displaystyle x=a}$ является вертикальной асимптотой функции ${\displaystyle f(x)}$, если хотя бы один из пределов:

  ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }$,
  ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }$,

существует.

• Горизонтальная асимптота — прямая вида ${\displaystyle y=b}$, к которой функция приближается при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности. Прямая ${\displaystyle y=b}$ является горизонтальной асимптотой, если:

  ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=b}$.

• Наклонная (косая) асимптота — прямая вида ${\displaystyle y=kx+b}$, к которой график функции приближается при удалении по оси абсцисс. Прямая ${\displaystyle y=kx+b}$ является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы:

  ${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\dfrac {f(x)}{x}}}$,
  ${\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-kx\right)}$.

Чтобы найти вертикальные асимптоты, исследуют поведение функции в точках, где она не определена или имеет разрывы.

• Пример:

  Для функции ${\displaystyle f(x)={\dfrac {1}{x-2}}}$ при ${\displaystyle x\to 2}$ функция стремится к бесконечности. Следовательно, прямая ${\displaystyle x=2}$ — вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты определяются пределами функции при ${\displaystyle x\to \pm \infty }$.

• Пример:

  Для функции ${\displaystyle f(x)={\dfrac {3x}{x+1}}}$ имеет место:
    ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=3}$.
  Следовательно, прямая ${\displaystyle y=3}$ — горизонтальная асимптота.

Наклонные асимптоты определяются нахождением коэффициентов ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle b}$.

• Алгоритм:

 1. Вычислить ${\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\dfrac {f(x)}{x}}}$.
 2. Вычислить ${\displaystyle b=\lim _{x\to \pm \infty }\left(f(x)-kx\right)}$.

• Пример:

  Для функции ${\displaystyle f(x)={\dfrac {2x^{2}+3}{x}}}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$:
    ${\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }{\dfrac {2x^{2}+3}{x}}\cdot {\dfrac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }\left(2+{\dfrac {3}{x^{2}}}\right)=2}$,
    ${\displaystyle b=\lim _{x\to \infty }\left({\dfrac {2x^{2}+3}{x}}-2x\right)=\lim _{x\to \infty }\left({\dfrac {2x^{2}+3-2x^{2}}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\dfrac {3}{x}}=0}$.
  Следовательно, прямая ${\displaystyle y=2x}$ — наклонная асимптота.

• Пересечение с графиком: Асимптота может пересекать график функции конечное число раз.
• Количество асимптот: У функции может быть несколько вертикальных асимптот, но не более двух горизонтальных или наклонных (при ${\displaystyle x\to \infty }$ и ${\displaystyle x\to -\infty }$).
• Отсутствие асимптот: Не все функции имеют наклонные или горизонтальные асимптоты.

• Гипербола: Для функции ${\displaystyle f(x)={\dfrac {1}{x}}}$:

  Вертикальная асимптота: ${\displaystyle x=0}$,
  Горизонтальная асимптота: ${\displaystyle y=0}$.

• Показательная функция: У функции ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$ асимптота ${\displaystyle y=0}$.

• Логарифмическая функция: Для ${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$ существует вертикальная асимптота ${\displaystyle x=0}$, так как при ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ функция стремится к минус бесконечности.

• Построение графиков: Асимптоты помогают точно определить форму графика функции.
• Анализ поведения функций: Используются для исследования пределов и поведения функций на бесконечности.
• Математическое моделирование: В физике и инженерии асимптоты помогают описать поведение систем при экстремальных значениях параметров.

Понимание асимптот графиков функций является ключевым в анализе поведения функций при больших значениях аргумента или вблизи точек разрыва. Владение методами нахождения асимптот позволяет эффективно строить графики и исследовать свойства функций, что важно для решения математических и прикладных задач.