Умножение

Самые ранние из дошедших до нас свидетельств систематических техник умножения относятся к Шумерской цивилизации в Южной Месопотамии и датируются серединой III тысячелетия до н. э. В клинописных табличках из Шуруппак, посвящённых расчёту площадей полей и объёмов земляных работ, уже встречаются задачи, требующие перемножения чисел, содержащих до двух шестидесятеричных разрядов^[3].

Вавилоняне использовали позиционную шестидесятеричную систему счисления, что позволило им создать стандартизированные таблицы умножения для множителей от 1 до 59, а также вспомогательные таблицы квадратов, кубов и обратных величин. Их алгоритм вычисления произведения был структурно близок к современному умножению в столбик, но был адаптирован под основание 60; при этом вавилоняне не использовали символ нуля в явном виде, разделяя разряды пробелами. Для упрощения вычислений широко применялось тождество ${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}$, позволяющее свести умножение к сложению, вычитанию и поиску квадратов в готовых таблицах^[4][5].

Древнеегипетская система счисления была десятичной, но непозиционной, что обусловило оригинальный метод умножения, не требующий запоминания таблиц: он основан на последовательном удвоении множимого с последующим суммированием подходящих значений (метод дупляции, известный также как «египетское умножение»). Этот алгоритм был известен уже в эпоху Среднего царства (около XX века до н. э.) и подробно описан в папирусе Райнда (ок. 1650 г. до н. э.) наряду с правилами умножения египетских единичных дробей. Например, для вычисления произведения 14 и 12 писец последовательно удваивал 14, получая 28 (2×14), 56 (4×14) и 112 (8×14), после чего складывал 56 и 112, соответствующие степеням двойки 4 и 8 (в сумме дающим 12), и получал 168^[6][7].

В Древнем Китае позиционная десятичная система счисления и связанные с ней алгоритмы арифметических операций сформировались к началу нашей эры. Самым ранним дошедшим до нас источником, подробно описывающим правила умножения, является трактат «Математика в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу), окончательно отредактированный не позднее I века н. э., но содержащий материалы, восходящие к эпохе Западная Хань. Вычисления проводились на счётной доске с помощью бамбуковых счётных палочек (чжоу суань), располагаемых по разрядам; умножение выполнялось начиная со старших разрядов, по схеме, близкой к современному умножению столбиком. В трактате также приведены правила умножения обыкновенных дробей и пропорционального деления. В III веке н. э. Лю Хуэй в комментариях к «Девяти книгам» дал строгое обоснование этих алгоритмов и обобщил их на отрицательные числа. Первые печатные таблицы умножения в Китае относятся к эпохе династии Сун (X—XIII века)^[8].

К V—VII векам н. э. индийские математики разработали полную позиционную десятичную систему счисления с нулём и создали несколько эффективных алгоритмов умножения, которые впоследствии через арабский мир попали в Европу. Среди них выделялись метод гомутрика (зигзагообразное расположение промежуточных результатов) и метод решётки (джелозия), при котором вычисления проводятся в прямоугольной таблице, ячейки которой разделены диагоналями; после заполнения таблицы значениями произведений разрядов результат получается суммированием по диагоналям. Описание этих и других алгоритмов, включая вариант умножения, близкий к современному столбику, содержится в трактате Брахмагупта «Брахма-спхута-сиддханта» (628 г. н. э.), а также в позднейших работах Бхаскары I и Бхаскары II. Индийские математики впервые распространили общие правила умножения целых чисел на десятичные дроби^[9][10].

Древнегреческие математики рассматривали умножение прежде всего с геометрической точки зрения — как операцию нахождения площади прямоугольника по заданным сторонам. В VII книге «Начал» Евклида (III век до н. э.) умножение натуральных чисел определяется формально, с использованием буквенных обозначений величин, и доказываются его основные алгебраические свойства: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность относительно сложения^[11]. Из-за использования непозиционной ионийской нумерации практическое умножение было громоздким, и для расчётов греки активно применяли абак.

У римлян, использовавших римскую непозиционную нумерацию, практические алгоритмы умножения также были основаны на разложении чисел на разрядные слагаемые (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировании промежуточных произведений; для массовых расчётов также использовался абак и специальные справочные таблицы^[12][13].

В IX веке персидский математик Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми в трактате об индийской арифметике и в знаменитом труде «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» систематизировал индийские методы умножения, адаптировав их сначала для арабской буквенной нумерации, а позднее и для позиционной десятичной системы с индийскими цифрами. Арабские математики усовершенствовали метод решётки (джелозия) и разработали несколько вариантов умножения столбиком. В X веке Аль-Уклидиси в «Книге разделов об индийской арифметике» дополнил эти алгоритмы правилами умножения десятичных дробей. От латинского перевода имени аль-Хорезми произошёл термин «алгоритм», а от названия его трактата «аль-джебр» — слово «алгебра». В XII—XIII веках арабские арифметические трактаты были переведены на латынь и стали основой для преподавания арифметики в европейских университетах^[14].

До распространения арабских цифр в Европе практические вычисления, включая умножение, проводились на абаке специалистами-счётчиками (абацистами), а записи вычислений велись с использованием римских цифр. С XII века, после появления латинских переводов арабских трактатов, начала складываться традиция письменных вычислений на бумаге с использованием позиционной десятичной системы, которую развивали математики-алгоритмики. Важнейшую роль в распространении новых методов сыграла «Книга абака» (Liber Abaci, 1202) Леонардо Пизанского (Фибоначчи), описавшая сразу несколько методов умножения: метод решётки, метод шахматной доски, разложение на множители и один из ранних вариантов умножения столбиком^[15].

Метод джелозия (решётчатое умножение) был особенно популярен в Европе в XIV—XVI веках из-за своей наглядности и простоты контроля ошибок; он использовался, в частности, в первой печатной книге по арифметике, вышедшей в Тревизо в 1478 году (Тревизская арифметика). Современный алгоритм умножения столбиком постепенно вытеснил альтернативные методы только в XVI—XVII веках, с распространением массовых печатных учебников арифметики. Для быстрых устных вычислений купцы и ремесленники в средние века также использовали специальные приёмы пальцевого умножения для чисел от 5 до 10^[16].

В допетровской Руси для умножения и других арифметических расчётов повсеместно использовался русский абак с костяшками на натянутых верёвках или проволоках, позднее превратившаяся в классические счёты. Письменные методы умножения были адаптированы под кириллическую алфавитную нумерацию, использовавшуюся в рукописных книгах и документах; они были основаны на разложении чисел на разрядные слагаемые и последовательном удвоении. Задачи на умножение встречаются уже в древнейших русских рукописях, начиная с XI века, включая «Русскую Правду» и учительные сборники Кирика Новгородца, где арифметические расчёты применялись для вычисления дани, размеров земельных участков и церковного календаря^[17].

Умножение столбиком с использованием арабских цифр распространилось в России в конце XVII — начале XVIII века, в результате реформ Петра I и издания первых массовых печатных учебников. Подробное описание правил умножения целых чисел и дробей, таблица умножения и большое количество практических примеров для купцов, моряков и ремесленников были приведены в «Арифметике» Леонтия Магницкого, вышедшей в 1703 году и ставшей основным учебником математики в России почти на полвека.

К XVII веку алгоритм умножения столбиком был стандартизирован и постепенно стал основным методом, изучаемым в начальной школе в европейских странах. Развитие мореплавания, астрономии, банковского дела и торговли в Новое время вызвало потребность в быстром перемножении больших многозначных чисел, что привело к созданию специализированных справочных таблиц и механических вычислительных устройств. В 1617 году шотландский математик Джон Непер изобрёл так называемые палочки Непера — набор деревянных брусков с выгравированными таблицами умножения, позволяющий свести умножение и деление многозначных чисел к сложению. В 1673 году Готфрид Вильгельм Лейбниц сконструировал первый в мире арифмометр, способный механически выполнять умножение многозначных чисел без промежуточных вычислений человеком^[18].

В XVIII—XIX веках таблица умножения (часто называемая таблицей Пифагора, так как позднеантичные неоплатоники приписывали её изобретение Пифагору) стала обязательным элементом школьной программы во всех европейских странах. В XIX веке были разработаны многочисленные методики ускоренного устного и письменного умножения, а серийно выпускаемые арифмометры (в том числе арифмометр Однера, ставший основой для советских моделей «Феликс») массово использовались для расчётов в конторах, банках и научных учреждениях вплоть до середины XX века^[19].

С появлением электронных вычислительных машин в середине XX века возникла потребность в оптимизации умножения для очень больших чисел (с тысячами и миллионами знаков), используемых в криптографии, численном анализе и других областях. Классический алгоритм умножения в столбик имеет асимптотическую временную сложность ${\displaystyle O(n^{2})}$, где ${\displaystyle n}$ — количество разрядов перемножаемых чисел.

В 1960 году советский математик Анатолий Карацуба разработал первый быстрый алгоритм умножения с асимптотической сложностью ${\displaystyle O(n^{\log _{2}3})\approx O(n^{1{,}585})}$, основанный на рекурсивном разбиении множителей на старшую и младшую части и сокращении количества обязательных умножений с 4 до 3 за счёт дополнительных операций сложения и вычитания. Модификации алгоритма Карацубы до сих пор широко используются в компьютерной арифметике для чисел средней длины^[20].

В 1963 году Андрей Тоом, а в 1966 году независимо от него Стивен Кук обобщили идею Карацубы, создав семейство алгоритмов Тоома — Кука с настраиваемой сложностью ${\displaystyle O(n^{1+\varepsilon })}$ для произвольного малого ${\displaystyle \varepsilon }$ при увеличении количества частей, на которые разбиваются множители. В 1971 году Фолькер Штрассен и Арнольд Шёнхаге предложили алгоритм, основанный на быстром преобразовании Фурье, имеющий сложность ${\displaystyle O(n\log n\log \log n)}$, и высказали гипотезу, что асимптотически оптимальный алгоритм умножения должен иметь сложность ${\displaystyle O(n\log n)}$. Алгоритм Шёнхаге — Штрассена оставался самым быстрым для сверхбольших чисел на протяжении почти 50 лет^[21].

Гипотеза Шёнхаге и Штрассена получила подтверждение в 2019 году, когда математики Дэвид Харви и Йорис ван дер Ховен опубликовали алгоритм умножения, достигший асимптотической сложности ${\displaystyle O(n\log n)}$^[22].

В настоящее время классическое умножение столбиком по-прежнему изучается в школе и используется для расчётов с небольшими числами, в то время как быстрые алгоритмы применяются в компьютерных системах, в том числе при реализации асимметричных криптосистем и научных вычислений.

В русскоязычной математической литературе под множеством натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ обычно понимается множество положительных целых чисел ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$, не включающее ноль^[25].

Умножение натуральных чисел может быть определено рекурсивно на основе аксиом Пеано:

1. ${\displaystyle a\cdot 1=a}$ (умножение на единицу)
2. ${\displaystyle a\cdot (b+1)=a\cdot b+a}$ (рекурсивный шаг)

Это определение корректно задаёт операцию умножения для всех натуральных чисел и согласуется с интуитивным представлением об умножении как многократном сложении.

Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B}$ порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B]}$. Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

${\displaystyle [C]=[A]\cdot [B]=[A\times B];}$

где: ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}}$ прямое произведение множеств — множество ${\displaystyle C}$, элементами которого являются упорядоченные пары ${\displaystyle (a,b)}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in A,b\in B}$. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества ${\displaystyle A}$ на отрезок ${\displaystyle N_{a}}$ можно понимать как нумерацию элементов множества ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a}}$.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что:

${\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{m-1}b_{m-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{0,1,\ldots ,P-1\},\quad \forall a_{n-1},b_{m-1}\neq 0;}$

где:

${\displaystyle n}$ — количество цифр в числе ${\displaystyle a}$;

${\displaystyle m}$ — количество цифр в числе ${\displaystyle b}$;

${\displaystyle k}$ — порядковый номер разряда (позиции), ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$;

${\displaystyle P}$ — основание системы счисления;

${\displaystyle \{0,1,\ldots ,P-1\}}$ — множество числовых знаков (цифр) конкретной системы счисления.

Тогда произведение ${\displaystyle c=a\cdot b}$ вычисляется следующим образом:

1. Для каждой цифры ${\displaystyle b_{j}}$ второго числа (${\displaystyle j=0,1,\ldots ,m-1}$) вычисляем промежуточное произведение:

  ${\displaystyle t_{j}=a\cdot b_{j}\cdot P^{j}}$

2. Складываем все промежуточные произведения:

  ${\displaystyle c=\sum _{j=0}^{m-1}t_{j}}$

При вычислении каждого промежуточного произведения ${\displaystyle a\cdot b_{j}}$ используется таблица умножения одноразрядных чисел с учётом переноса в старший разряд.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}&&&&&&&&&\\&&&&1&1&0&1&1&0\\&&&\times &&&1&1&0&1\\\hline &&&&1&1&0&1&1&0\\&&&0&0&0&0&0&0&{\color {Gray}0}\\&&1&1&0&1&1&0&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\+&1&1&0&1&1&0&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0\end{array}}_{(2)};\quad \quad {\begin{array}{cccccccccc}&&&&_{2}&_{2}&_{3}&_{3}&\\&&&&_{1}&_{2}&_{2}&_{2}&\\&&&&8&4&5&6&7\\&&&\times &&&5&4&1\\\hline &&&0&8&4&5&6&7\\&&3&3&8&2&6&8&{\color {Gray}0}\\+&4&2&2&8&3&5&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline &4&5&7&5&0&7&4&7\end{array}}_{(10)};\quad \quad {\begin{array}{ccccccccc}&&&&_{8}&_{8}&_{2}\\&&&&_{D}&_{D}&_{3}\\&&&&6&D&E&4\\&&&\times &&A&1&F\\\hline &&&6&7&0&5&C\\&&0&6&D&E&4&{\color {Gray}0}\\+&4&4&A&E&8&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline &4&5&8&3&6&9&C\end{array}}_{(16)}.}$

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию ${\displaystyle P}$ системы счисления.

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$, получаемое добавлением отрицательных чисел ^[26] вида ${\displaystyle -n}$ и нуля. Множество целых чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами с сохранением основных свойств (коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности).

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что целые числа включают отрицательные числа, которые на числовой прямой располагаются слева от нуля, в то время как положительные числа — справа от нуля. Это требует учёта знаков при умножении. Возможны следующие случаи:

• Если оба множителя положительные, тогда: ${\displaystyle c=a\cdot b;}$
• Если первый множитель отрицателен, а второй положителен, тогда: ${\displaystyle c=(-a)\cdot b=-(a\cdot b),}$ где ${\displaystyle a,b>0;}$
• Если первый множитель положителен, а второй отрицателен, тогда: ${\displaystyle c=a\cdot (-b)=-(a\cdot b),}$ где ${\displaystyle a,b>0;}$
• Если оба множителя отрицательны, тогда: ${\displaystyle c=(-a)\cdot (-b)=a\cdot b,}$ где ${\displaystyle a,b>0.}$

Правило знаков при умножении: «минус» на «минус» даёт «плюс», «плюс» на «минус» даёт «минус», «минус» на «плюс» даёт «минус», «плюс» на «плюс» даёт «плюс».

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения модулей чисел с последующим определением знака результата по правилу знаков. Например, рассмотрим выражение: ${\displaystyle -6\cdot 4=-24}$; так как у чисел ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle 4}$ разные знаки, то выносим минус за скобки: ${\displaystyle -6\cdot 4=-(6\cdot 4)}$, вычисляя далее получим ответ: ${\displaystyle -24}$.

Множество рациональных чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$, следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга, учитывая правило знаков.

Если даны два рациональных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что: ${\textstyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}},}$ где ${\displaystyle m_{a},m_{b}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle n_{a},n_{b}\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n_{a}\neq 0,n_{b}\neq 0}$, тогда^[27]:

${\displaystyle c=a\cdot b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.}$

Знак произведения определяется по правилу знаков для целых чисел.

Пример умножения:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2}{15}};\quad {\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{6}}={\frac {3\cdot 4}{7\cdot 6}}={\frac {12}{42}}={\frac {2}{7}};\quad \left(-{\frac {2}{3}}\right)\cdot {\frac {4}{5}}=-{\frac {8}{15}}.}$

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям: произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Арифметические операции над вещественными числами, представимыми бесконечными десятичными дробями, определяются как непрерывное продолжение^[28] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то их произведением называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, определённое произведением последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta {\overset {\text{по определению}}{=}}[a_{n}]\cdot [b_{n}]=[a_{n}\cdot b_{n}];}$

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta }$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \gamma \leqslant a''\cdot b'').}$

Таким образом, произведением двух вещественных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$, которое содержится между всеми произведениями вида ${\displaystyle a'\cdot b'}$ с одной стороны и всеми произведениями вида ${\displaystyle a''\cdot b''}$ с другой стороны^[29].

На практике для того, чтобы умножить два числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За приближённое значение произведения чисел ${\displaystyle \alpha \cdot \beta }$ берут произведение указанных рациональных чисел ${\displaystyle a\cdot b}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: ${\displaystyle \Delta (a\cdot b)=|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b+\Delta a\cdot \Delta b\approx |b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}$, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: ${\displaystyle \delta (a\cdot b)=\delta a+\delta b}$. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближённого числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения ${\displaystyle \gamma =\pi \cdot e}$, с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$;
• Поразрядно умножаем: ${\displaystyle \gamma =\pi \cdot e\approx 3.1416\cdot 2.7183\approx 8.5398}$;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 8.540}$.

На множестве пар вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ график функции умножения ${\displaystyle z=f(x,y)=xy}$ является гиперболическим параболоидом — поверхностью второго порядка, проходящей через начало координат и имеющей седлообразную форму.

График функции z = xy (гиперболический параболоид)

Для удобства записи и вычислений с очень большими или очень малыми действительными числами (в отличие от показательной формы комплексных чисел, рассматриваемой ниже) часто используется стандартный (экспоненциальный) вид.

В такой записи число представляется в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{n}}$, где:

• ${\displaystyle x}$ — мантисса (${\displaystyle 1\leq |x|<P}$),
• ${\displaystyle P^{n}}$ — порядковая величина,
• ${\displaystyle P}$ — основание системы счисления (обычно 10),
• ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ — показатель степени (порядок).

Для умножения двух чисел, записанных в стандартном виде, необходимо умножить их мантиссы и сложить показатели степеней: ${\displaystyle (a\cdot P^{n})\cdot (b\cdot P^{k})=(a\cdot b)\cdot P^{n}\cdot P^{k}=(a\cdot b)\cdot P^{n+k}.}$

Например:

${\displaystyle 2{,}34\cdot 10^{-5}\cdot 5{,}67\cdot 10^{6}=2{,}34\cdot 5{,}67\cdot 10^{-5}\cdot 10^{6}\approx 13{,}27\cdot 10^{-5+6}\approx 13{,}27\cdot 10^{1}\approx 1{,}33\cdot 10^{2}.}$

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи называется комплексное число, равное:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,}$

где: ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, для которой выполняется ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})\cdot r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})),}$

где:

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ — модуль комплексного числа,

${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$ — аргумент комплексного числа (многозначная функция, определённая для ${\displaystyle z\neq 0}$).

Аргумент комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi\neq 0}$ определяется как угол ${\displaystyle \varphi }$ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки ${\displaystyle (a,b)}$ на комплексной плоскости. Главное значение аргумента обычно выбирается из интервала ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ или ${\displaystyle [0,2\pi )}$ и вычисляется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&a>0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi ,&a<0,b\geq 0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right)-\pi ,&a<0,b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&a=0,b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&a=0,b<0.\end{cases}}}$

Полное множество значений аргумента: ${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$.

Умножение комплексного числа ${\displaystyle z_{1}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}}$ в показательной (экспоненциальной) форме на комплексное число ${\displaystyle z_{2}=r_{2}e^{i\varphi _{2}}}$ сводится к повороту вектора, соответствующего числу ${\displaystyle z_{1}}$, на угол ${\displaystyle \arg(z_{2})}$ и изменению его длины в ${\displaystyle |z_{2}|}$ раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})},}$

где: ${\displaystyle e=2{,}718281828\dots }$ — число e.

При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например ${\displaystyle 1{,}5(\in \mathbb {Q} )\cdot 5(\in \mathbb {N} )}$, необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей мощностью «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }$, где ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — множество кватернионов. В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число ${\displaystyle 5}$ как рациональное число ${\displaystyle 5{,}0}$. Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: ${\displaystyle 1{,}5(\in \mathbb {Q} )\cdot 5{,}0(\in \mathbb {Q} )=7{,}5(\in \mathbb {Q} )}$.

Принцип расширения числовых множеств обеспечивает сохранение основных свойств операции умножения (коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности) при переходе от одного множества к другому. Операции на новых множествах определяются так, чтобы:

1. Они совпадали со старыми операциями на исходном множестве;
2. Сохранялись основные алгебраические свойства;
3. Операция оставалась однозначной и корректно определённой.