Интеграл Лебега

Первая публикация Анри Лебега относится к 1901 г. В следующем году появилась его диссертация «Intégral, longueur, aire» и, наконец, в 1904 г. «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives» («Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций») с изложением теории и очерком развития понятия интеграла. В первых работах Лебег использовал мероопределение Бореля (“Leçons sur la théorie des fonctions” появились в 1898 г.) и считал, что его теория меры завершает теорию Бореля.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

За несколько лет до Лебега аналогичную процедуру интегрирования применял Граве (только в конкретных примерах). Примечательно, что интеграл Лебега постигла буквально та же участь, что и интеграл Стилтьеса. Этот интеграл был почти неизвестен до статьи Рисса (1909), в которой Рисс нашёл общий вид линейных функционалов в пространстве ${\displaystyle C}$. К интегралу Лебега всеобщее внимание привлёк также Рисс, применив его в функциональном анализе. Он же ввёл обозначения ${\displaystyle L^{2},L^{n}}$^[2].

Мера Лебега

Понятие меры Лебега для ограниченных множеств некоторого класса обобщает понятие меры Жордана, потому что всякое измеримое в жордановом смысле множество измеримо по Лебегу и соответствующие меры равны между собой. Обозначения ${\displaystyle m_{i}E}$ и ${\displaystyle m_{e}E}$ соответствуют внутренней и внешней мерам по Жордану. Для лебеговой меры внутренней и внешней мер употребляют обозначения ${\displaystyle \mu _{i}E}$ и ${\displaystyle \mu _{e}E}$ соответственно.

Обозначение ${\displaystyle |E|}$ употребляют для таких множеств ${\displaystyle E}$, для которых уже выяснено, что их лебегова и жорданова меры, если они обе существуют, равны.

Пусть ${\displaystyle E}$ есть произвольное ограниченное множество.

Внутренняя лебегова мера ${\displaystyle E}$ есть верхняя грань ${\displaystyle \mu _{i}E=\sup _{F\in E}\mu F}$ лебеговых мер, принадлежащих ${\displaystyle E}$ замкнутых множеств ${\displaystyle F}$. 

Внешняя лебегова мера ${\displaystyle E}$ есть нижняя грань ${\displaystyle \mu _{e}E=\inf _{G\in E}\mu G}$ лебеговых мер открытых множеств ${\displaystyle G}$, содержащих ${\displaystyle E}$. 

Если внутренняя и внешняя меры равны между собой, то число ${\displaystyle \mu E=\mu _{i}E=\mu _{e}E}$ называется лебеговой мерой ${\displaystyle E}$ или мерой ${\displaystyle E}$ в смысле Лебега. 

Измеримое множество с мерой Лебега

Каждому ограниченному множеству ${\displaystyle E}$ приписывается два числа ${\displaystyle \mu _{i}E}$ и ${\displaystyle \mu _{e}E}$ — внутренняя и внешняя меры ${\displaystyle E}$.

Множество ${\displaystyle E}$ называется измеримым по Лебегу, если его внутренняя и внешняя меры равны между собой.

Имеют место неравенства ${\displaystyle m_{i}E\leqslant \mu _{i}E\leqslant \mu _{e}E\leqslant m_{e}E}$. Из них следует, что если ${\displaystyle E}$ измеримо по Жордану, то ${\displaystyle E}$ измеримо и по Лебегу и ${\displaystyle mE=\mu E}$^[3].

Измеримые функции

Функция ${\displaystyle f=f({\text{x}})=f(x_{1},...,x_{n})}$ называется измеримой на множестве ${\displaystyle E}$, если ${\displaystyle E}$ измеримо, ${\displaystyle f}$ конечна на ${\displaystyle E}$ и для любого (действительного) числа ${\displaystyle A}$ множество ${\displaystyle \{{\text{x}}:{\text{x}}\in E,f({\text{x}})<A\}=\{f<A\}}$ измеримо.

Функция ${\displaystyle f}$, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве ${\displaystyle F}$ или открытом ограниченном множестве ${\displaystyle G}$, измерима на нём^[4].

Если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного интервала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном интервале, области или множестве почти всюду.

Функция ${\displaystyle f(x)}$, определённая на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ (а также определённая на ${\displaystyle [a,b]}$ не всюду, а лишь почти всюду), измерима на ${\displaystyle [a,b]}$, если для каждого действительного числа ${\displaystyle c}$ множество точек ${\displaystyle x}$ интервала ${\displaystyle [a,b]}$, в которых ${\displaystyle f(x)\leqslant c}$, измеримо.  В этом определении условие ${\displaystyle f(x)\leqslant c}$ можно заменить любым из условий ${\displaystyle f(x)<c}$, ${\displaystyle f(x)\geqslant c}$, ${\displaystyle f(x)>c}$. 

Функция ${\displaystyle f(x)}$, непрерывная на ${\displaystyle [a,b]}$, измерима на ${\displaystyle [a,b]}$^[5].

Последовательность конечных измеримых на ${\displaystyle E}$ функций ${\displaystyle f_{k}}$ сходится к измеримой на ${\displaystyle E}$ функции ${\displaystyle f}$ по мере, если для любого ${\displaystyle \delta >0}$ мера множества ${\displaystyle e_{k}=\{{\text{x}}\in E:|f({\text{x}})-f_{k}({\text{x}})|>\delta \}}$ стремится к нулю (${\displaystyle \mu e_{k}\to 0,k\to \infty }$).

Простой функцией называется измеримая функция ${\displaystyle {\text{g}}:X\to \mathbb {R} ^{1}}$, принимающая не более счётного множества значений: ${\displaystyle {\text{g}}(x)=y_{n},y_{n}\neq y_{k}}$ при ${\displaystyle n\neq k}$, если ${\displaystyle x\in X_{n}}$, ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }X_{n}=X}$. Простая функция называется суммируемой, если ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }y_{n}mX_{n}}$ сходится абсолютно. Функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{1}}$ суммируема на ${\displaystyle X,f\in L(X,m)}$, если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к ${\displaystyle f}$ последовательность простых суммируемых функций ${\displaystyle {\text{g}}_{n}}$ и предел ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{X}{\text{g}}_{n}dm=I}$ конечен.

Интегральные суммы Лебега

Пусть на измеримом множестве ${\displaystyle E}$ задана ограниченная измеримая функция ${\displaystyle f(x)}$. ${\displaystyle M_{1}}$и ${\displaystyle M_{2}}$ соответственно нижняя и верхняя грани функции ${\displaystyle f(x)}$ на множестве ${\displaystyle E}$. Числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle A\leqslant M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}<B}$. Сегмент ${\displaystyle [A,B]}$, содержащий множество значений функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, разбит на ${\displaystyle n}$ частей: ${\displaystyle A=y_{0}<y_{1}<y_{2}<...<y_{n}=B}$. ${\displaystyle E_{k}}$ — множество таких точек ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle E}$, для которых верны неравенства ${\displaystyle y_{k}\leqslant f(x)<y_{k+1}}$, то есть ${\displaystyle E_{k}=E\{y_{k}\leqslant f(x)<y_{k+1}\}}$. Верна формула ${\displaystyle E=\sum \limits _{k=0}^{n-1}E_{k}}$. Так как все множества ${\displaystyle E_{k}}$ измеримы и попарно не имеют общих точек, то ${\displaystyle \mu (E)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}\mu (E_{k})}$.

Суммы ${\displaystyle s=\sum \limits _{k=0}^{n-1}y_{k}\mu (E_{k})}$ и ${\displaystyle S=\sum \limits _{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu (E_{k})}$ называют соответственно нижней и верхней суммами Лебега^[6].

Пусть на измеримом множестве ${\displaystyle E}$ задана ограниченная измеримая функция ${\displaystyle f(x)}$.

Общий предел ${\displaystyle I}$, к которому стремятся суммы Лебега ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle S}$ при стремлении к нулю длины ${\displaystyle \Delta y}$ наибольшего из элементарных сегментов ${\displaystyle [y_{i},y_{i+1}]}$ сегмента ${\displaystyle [A,B]}$, называется интегралом Лебега от функции ${\displaystyle f(x)}$ по множеству ${\displaystyle E}$ и обозначается символом ${\displaystyle (L)\int \limits _{E}f(x)\,dx}$ или ${\displaystyle (L)\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$, если множество ${\displaystyle E}$ есть сегмент ${\displaystyle [a,b]}$.

Замечание

Хотя суммы Лебега и связаны с числами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, интеграл Лебега от них не зависит. Они могут быть какими угодно, лишь бы только все значения функции ${\displaystyle f(x)}$, соответствующие значениям ${\displaystyle x}$ из множества ${\displaystyle E}$, удовлетворяли неравенствам ${\displaystyle A\leqslant f(x)<B}$^[6].

Интеграл Лебега есть линейный неотрицательный функционал на ${\displaystyle L(X,\mu )}$, обладающий следующими свойствами:

• Если ${\displaystyle f(x)\in L(X,\mu )}$ и ${\displaystyle \mu \{x\in X,f(x)\neq h(x)\}=0}$, то ${\displaystyle h(x)\in L(X,\mu )}$ и ${\displaystyle \int \limits _{X}fd\mu =\int \limits _{X}hd\mu }$.
• Если ${\displaystyle f(x)\in L(X,\mu )}$, то ${\displaystyle |f|\in L(X,\mu )}$ и ${\displaystyle \left\vert \int \limits _{X}f\,d\mu \right\vert \leqslant \int \limits _{X}|f|\,d\mu }$.
• Если ${\displaystyle f(x)\in L(X,\mu )}$, ${\displaystyle |h|\leqslant f}$ и ${\displaystyle h}$ измерима, то ${\displaystyle h\in L(X,\mu )}$ и ${\displaystyle \left\vert \int \limits _{X}h\,d\mu \right\vert \leqslant \int \limits _{X}f\,d\mu }$^[7].
• Если на множестве ${\displaystyle E}$, представляющем сумму конечного или счётного множества измеримых множеств ${\displaystyle E^{(1)},E^{(2)},...,E^{(k)},...}$, попарно не имеющих общих точек, задана ограниченная измеримая функция ${\displaystyle f(x)}$, то интеграл от ${\displaystyle f(x)}$ по множеству ${\displaystyle E}$ равняется сумме интегралов от ${\displaystyle f(x)}$, взятых по множествам ${\displaystyle E^{(1)},E^{(2)},...,E^{(k)},...}$, то есть ${\displaystyle (L)\int \limits _{E}f(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty }(L)\int \limits _{E^{(k)}}f(x)\,dx}$.

• Если на множестве ${\displaystyle E}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ измерима и ${\displaystyle M_{1}\leqslant f(x)\leqslant M_{2}}$, то ${\displaystyle M_{1}m(E)\leqslant (L)\int \limits _{E}f(x)\,dx\leqslant M_{2}m(E)}$^[8].

• Если для почти всюду неотрицательной на ${\displaystyle E}$ функции ${\displaystyle f\in L(E)}$ выполняется равенство ${\displaystyle \int \limits _{E}f\,dx=0}$, то ${\displaystyle f(x)=0}$ почти всюду на ${\displaystyle E}$^[9].

Пусть функция ${\displaystyle f}$ интегрируема несобственно в смысле Римана на ${\displaystyle E}$. Для того чтобы она была абсолютно интегрируемой на ${\displaystyle E}$ (в римановом смысле), необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle f\in L(E)}$, и тогда риманов несобственный интеграл от ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ равен интегралу Лебега от ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$^[10].

Если ${\displaystyle f(x)}$ на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$ интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу, причём интегралы Лебега и Римана от ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$ совпадают: ${\displaystyle (L)\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=(R)\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$. 

Но обратное утверждение уже не верно. Функция может быть интегрируемой на сегменте по Лебегу и не быть интегрируемой по Риману. В качестве такого примера можно назвать функцию Дирихле.

Ещё один пример обобщения понятия интеграла.

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке ${\displaystyle [a,b]}$ имеет ограниченную производную ${\displaystyle f'(x)}$, то ${\displaystyle f'(x)}$ интегрируема по Лебегу и ${\displaystyle f(x)=f(a)+(L)\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$. 

Следовательно, при помощи интеграла Лебега можно находить первообразную от каждой ограниченной производной. Это не всегда можно сделать при помощи интеграла Римана, так как существуют ограниченные производные, не интегрируемые по Риману^[11].

Пусть на множестве ${\displaystyle E}$ задана последовательность измеримых функций ${\displaystyle f_{n}(x)}$, которая сходится почти всюду (или по мере) на ${\displaystyle E}$ к функции ${\displaystyle f(x)}$. Если на ${\displaystyle E}$ существует такая суммируемая функция ${\displaystyle \Phi (x)}$, что при всех ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \Phi (x)}$, то ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ суммируемы на ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{E}f_{n}(x)\,dx=\int \limits _{E}f(x)\,dx}$.

То есть при указанных условиях можно переходить к пределу под знаком интеграла.

Важный частный случай ${\displaystyle \Phi (x)={\text{const}}}$ и ${\displaystyle E}$ с конечной мерой, также называемый теоремой Лебега, был получен автором раньше.

Иногда теоремой Лебега называют теорему, впервые доказанную Б. Леви^[12].

Пусть на множестве ${\displaystyle E}$ задана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций ${\displaystyle 0\leqslant f_{1}(x)\leqslant f_{2}(x)\leqslant ...}$ и ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ почти всюду, тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{E}f_{n}(x)\,dx=\int \limits _{E}f(x)\,dx}$.

Интеграл Лебега ${\displaystyle \Phi (A)=\int \limits _{A}f(x)\,d\mu }$ от фиксированной суммируемой функции ${\displaystyle f}$, рассматриваемый как функция множества, может служить примером заряда, абсолютно непрерывного относительно данной меры ${\displaystyle \mu }$. Справедлива следующая теорема^[13].

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — некоторая конечная ${\displaystyle \sigma }$-аддитивная мера, определённая на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре подмножеств из ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \Phi }$ — заряд, определённый на той же ${\displaystyle \sigma }$-алгебре и абсолютно непрерывный относительно ${\displaystyle \mu }$. Тогда существует такая суммируемая по ${\displaystyle \mu }$ функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle \Phi (A)=\int \limits _{A}f(x)\,d\mu }$ для каждого измеримого ${\displaystyle A}$. Эта функция, называемая производной заряда ${\displaystyle \Phi }$ по мере ${\displaystyle \mu }$, определяется однозначно, с точностью до ${\displaystyle \mu }$-эквивалентности.

 Для измеримой на кубе ${\displaystyle \Delta =\{0\leqslant x_{j}\leqslant a,j=1,...,n\}}$ функции ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},y),\,y=x_{2},...,x_{n}}$ имеет место равенство ${\displaystyle \int \limits _{\Delta }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{a}dx_{1}\int \limits _{\Delta ^{'}}f(x_{1},y)\,dy,\,\Delta ^{'}=\{0\leqslant x_{j}\leqslant a,j=2,...,n\}}$. (1)

Это равенство понимают следующим образом. Если ${\displaystyle f\in L(\Delta )}$, то почти для всех ${\displaystyle x_{1}}$, существует интеграл Лебега ${\displaystyle \int \limits _{\Delta ^{'}}f(x_{1},y)\,dy}$, представляющий собою функцию от ${\displaystyle x_{1}}$, интегрируемую (в лебеговом смысле) на отрезке ${\displaystyle [0,a]}$. При этом выполняется равенство (1). Но также, если ${\displaystyle f(x)}$ измерима и неотрицательна на ${\displaystyle \Delta }$ и почти для всех ${\displaystyle x_{1}\in [0,a]}$, a существует интеграл ${\displaystyle \int \limits _{\Delta ^{'}}f(x_{1},y)\,dy}$, в свою очередь интегрируемый по ${\displaystyle x_{1}}$ на ${\displaystyle [0,a]}$, то ${\displaystyle f\in L(\Delta )}$^[14].

Лебеговское интегрирование применимо к более общему классу функций, чем римановское интегрирование, и упрощает формулировки многих теорем. Многие теоремы, высказанные в терминах интеграла Лебега, непосредственно применимы к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Римана^[15].