Заряд (теория меры)

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — непустое множество, а ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{\Omega }}$ — система множеств на ${\displaystyle \Omega }$ с ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}}$.

Множинная функция ${\displaystyle \nu }$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle [-\infty ,+\infty )}$ или ${\displaystyle (-\infty ,+\infty ]}$ называется заряженной мерой, если выполняются следующие условия:

1. ${\displaystyle \nu (\emptyset )=0}$
2. Для любой дизъюнктной семьи ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ с ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {C}}}$ выполняется

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})}$.

Это свойство называется σ-аддитивностью.

Если система множеств ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ является σ-алгеброй, то далее она обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. В частности, тогда ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}}$ всегда принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Сходимость ряда ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})}$ рассматривается как безусловная сходимость в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, то есть его предел равен ${\displaystyle \textstyle \nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)}$.

Ограничение на область значений ${\displaystyle [-\infty ,+\infty )}$ или ${\displaystyle (-\infty ,+\infty ]}$ вводится для сохранения ассоциативности сложения. Кроме того, это позволяет избежать появления неопределённых выражений, таких как ${\displaystyle -\infty +\infty }$.

Если в качестве области значений взять множество ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, то требование ${\displaystyle \nu (\emptyset )=0}$ становится избыточным, поскольку ${\displaystyle \nu (\emptyset )}$ — вещественное число и

${\displaystyle \nu (\emptyset )=\sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (\emptyset )}$

выполняется автоматически.

Два приведённых ниже примера являются классическими способами построения заряженных мер.

Пусть ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ — конечные меры на измеримом пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Тогда

${\displaystyle \nu _{1}=\mu _{1}-\mu _{2}{\text{ и }}\nu _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}}$

являются заряженными мерами на ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Для одной из мер ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ можно отказаться от конечности, если разрешить заряженным мерам принимать значения ${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$.

Заряженные меры также возникают в теории интегрирования, они индуцируются неопределённым интегралом.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ — мерное пространство, а ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}}$ — ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-${\displaystyle {\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }})}$-измеримая функция. Если ${\displaystyle f}$ положительна (принимает значения в ${\displaystyle [0,\infty ]}$) или квазиинтегрируема, то интеграл ${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }f\chi _{A}d\mu }$ с ${\displaystyle \chi }$ — индикаторной функцией и ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ всегда существует. Отображение ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}}$ с

${\displaystyle (\int fd\mu )(A):=\int _{\Omega }f\chi _{A}d\mu }$

определяет неопределённый ${\displaystyle \mu }$-интеграл.

• Если ${\displaystyle f}$ положительна, то ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ — мера.
• Если ${\displaystyle f}$ интегрируема, то ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ — конечная заряженная мера, то есть ${\displaystyle \textstyle (\int fd\mu )(A)\in \mathbb {R} }$ для ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
• Если ${\displaystyle f}$ квазиинтегрируема, то ${\displaystyle \textstyle \int fd\mu }$ — заряженная мера.

Для ${\displaystyle \textstyle (\int fd\mu )(A)}$ обычно используют сокращённую запись ${\displaystyle \textstyle \int _{A}fd\mu }$.

Пусть ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle B\subset A}$. Если ${\displaystyle |\nu (A)|<\infty }$, то всегда ${\displaystyle |\nu (B)|<\infty }$, поскольку ${\displaystyle \nu (A)=\nu (A\setminus B)+\nu (B)}$ по σ-аддитивности, откуда следует конечность правой части.

Пусть ${\displaystyle A,(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {A}}}$ — дизъюнктные ${\displaystyle A_{i}}$ и

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}{\text{ и }}|\nu (A)|<\infty }$,

тогда ряд ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\nu (A_{i})}$ абсолютно сходится. Для любой биекции ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ выполняется

${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{\pi (i)}=A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}}$

и, следовательно,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\nu (A_{\pi (i)})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (A_{i})}$.

Таким образом, ряд сходится безусловно, а значит и абсолютно.

Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — кольцо, то ${\displaystyle \nu }$ сходится сверху, то есть для любой монотонно убывающей последовательности ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ с ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle |\nu (A_{1})|<\infty }$ и ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\nu (A_{i})=\nu \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)}$

выполняется. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — σ-алгебра, то это свойство выполняется всегда.

Заряженная мера на σ-алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ сходится снизу, то есть для монотонно возрастающей последовательности ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ выполняется

${\displaystyle \lim _{i\rightarrow \infty }\nu (A_{i})=\nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)}$.

Множество ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ называется положительным множеством, если для любого подмножества ${\displaystyle B\subset A}$ с ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ выполняется

${\displaystyle \nu (B)\geq 0}$.

Аналогично, множество ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ называется отрицательным множеством, если для любого подмножества ${\displaystyle B\subset A}$ с ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ выполняется

${\displaystyle \nu (B)\leq 0}$.

Множество ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ называется нуль-множеством, если для любого подмножества ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ с ${\displaystyle B\subset A}$ выполняется

${\displaystyle \nu (B)=0}$.

Эквивалентно, ${\displaystyle A}$ — нуль-множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ является одновременно положительным и отрицательным множеством.

Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — σ-алгебра на базовом множестве ${\displaystyle \Omega }$, а ${\displaystyle \nu }$ — заряженная мера, то тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\nu )}$ называется заряжённым мерным пространством.

Заряженная мера ${\displaystyle \nu }$ называется конечной, если ${\displaystyle |\nu (A)|<\infty }$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Это эквивалентно ${\displaystyle |\nu (\Omega )|<\infty }$ или конечности вариации ${\displaystyle \nu }$.

Заряженная мера называется σ-конечной, если существует последовательность ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ множеств из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ такая, что

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

и ${\displaystyle |\nu (A_{n})|<\infty }$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Это эквивалентно тому, что вариация ${\displaystyle \nu }$ является σ-конечной мерой.

Конечная заряженная мера на хаусдорфовом пространстве, снабжённом борелевской σ-алгеброй, называется регулярной, если вариация заряженной меры является регулярной мерой.

Разложение Хана — Жордана даёт разбиение заряженной меры. При этом либо базовое множество почти однозначно разбивается на положительное и отрицательное множество (теорема Хана о разложении), либо заряженная мера представляется как разность двух (обычных) мер, из которых хотя бы одна конечна, и которые вместе дают исходную заряженную меру (теорема Жордана о разложении).

Для каждой заряженной меры ${\displaystyle \mu }$ существуют положительное множество ${\displaystyle P}$ и отрицательное множество ${\displaystyle N}$ такие, что ${\displaystyle N\cup P=\Omega }$ и ${\displaystyle N\cap P=\emptyset }$.

Также существуют меры ${\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}$ (так называемые положительная вариация и отрицательная вариация), из которых хотя бы одна конечна, которые сингулярны друг относительно друга и для которых ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$.

Выполняется

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\mu (P\cap A),\quad \mu ^{-}(A)=-\mu (N\cap A)}$.

Мера ${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$ называется вариацией ${\displaystyle \mu }$, а число ${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$ — нормой полной вариации заряженной меры.

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — σ-конечная мера на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, а ${\displaystyle \nu }$ — заряженная мера, абсолютно непрерывная относительно ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle \nu \ll \mu }$). Тогда ${\displaystyle \nu }$ имеет плотность относительно ${\displaystyle \mu }$, то есть существует измеримая функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ такая, что

${\displaystyle \nu (E)=\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu }$ для всех ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$.

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — σ-конечная мера на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, а ${\displaystyle \nu }$ — σ-конечная заряженная мера. Тогда существует единственное разложение ${\displaystyle \nu =\tau +\pi }$ на заряженные меры ${\displaystyle \tau ,\pi }$ такие, что ${\displaystyle \tau }$ абсолютно непрерывна относительно ${\displaystyle \mu }$, а ${\displaystyle \pi }$ сингулярна относительно ${\displaystyle \mu }$.

Теорема Витали — Хана — Сакса утверждает, что поточечный предел последовательности заряженных мер снова определяет заряженную меру.

В отличие от мер, заряженные меры на одном и том же измеримом пространстве образуют вещественное векторное пространство, если они конечны. В частности, любая вещественная линейная комбинация заряженных мер также является заряженной мерой. Меры при этом образуют выпуклый конус в этом векторном пространстве. Важными выпуклыми подмножествами являются вероятностные меры и субвероятностные меры.

Если наделить векторное пространство конечных заряженных мер нормой полной вариации, то получается нормированное пространство. Это пространство даже полно, то есть является банаховым пространством.

Это пространство можно снабдить также порядковой структурой, определяемой как

${\displaystyle \mu \leq \nu \;\iff \,\mu (A)\leq \nu (A)\quad {\text{для всех }}A\in {\mathcal {A}}}$.

Таким образом, конечные заряженные меры образуют риссово пространство и даже банахову решётку. Кроме того, оно порядково полно.

Регулярные заряженные меры, например, встречаются в функциональном анализе как сопряжённое пространство пространства непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, так называемых C₀-функций.

С помощью заряженных мер можно, например, моделировать распределения положительных и отрицательных зарядов в веществе.