Рациональная функция

Зачатки теории рациональных функций можно найти в трудах Диофанта Александрийского (III век н. э.), который фактически использовал рациональную параметризацию для нахождения рациональных точек на конических сечениях (например, окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$), хотя сам термин «функция» тогда ещё не существовал^[4]. В XVII веке Рене Декарт в своей «Геометрии» (1637) заложил основы аналитической геометрии, начав систематическое изучение алгебраических кривых, задаваемых рациональными соотношениями.

Потребность в вычислении интегралов от рациональных выражений стимулировала развитие метода разложения на простейшие дроби. Первые шаги в этом направлении сделали Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли в конце XVII века. Однако строгую и полную теорию разложения правильных рациональных дробей на простейшие создал Леонард Эйлер. В своём фундаментальном труде «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современное определение рациональной функции как отношения двух многочленов, доказал возможность её разложения на простейшие дроби над полем комплексных чисел и показал, как это разложение используется для интегрирования^[5].

В первой половине XIX века М. В. Остроградский решил важную практическую задачу интегрирования: в 1844 году он опубликовал метод (ныне известный как метод Эрмита—Остроградского), позволяющий выделить рациональную часть интеграла от рациональной дроби без предварительного разложения знаменателя на множители и нахождения его корней.

Во второй половине XIX века, благодаря работам Бернхарда Римана по теории функций комплексного переменного, рациональные функции получили глубокую геометрическую интерпретацию. Было установлено, что рациональные функции являются в точности мероморфными функциями на сфере Римана, а рациональные кривые соответствуют алгебраическим кривым рода 0^[6].

Параллельно П. Л. Чебышёв заложил основы теории наилучшего равномерного приближения функций. В своих мемуарах 1850-х — 1860-х годов он показал, что рациональные функции способны приближать непрерывные функции (особенно имеющие особенности) значительно точнее, чем многочлены той же степени. Эти идеи были развиты его учеником А. А. Марковым^[7].

В 1892 году Анри Паде (ученик Шарля Эрмита) в своей диссертации систематизировал метод построения рациональных аппроксимаций, ряд Тейлора которых совпадает с рядом исходной функции до максимально возможного порядка. Аппроксимация Паде стала мощным инструментом для аналитического продолжения функций и обхода ограничений сходимости степенных рядов^[8].

В XX веке рациональные функции перестали быть исключительно объектом чистой математики. С развитием радиотехники и теории управления (работы Найквиста, Боде, Михайлова) рациональные функции стали стандартным языком для описания передаточных функций линейных систем. Во второй половине XX века они легли в основу алгоритмов цифровой обработки сигналов (рекурсивные БИХ-фильтры) и компьютерной алгебры, где операции над рациональными функциями реализованы как базовые примитивы.

Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель являются взаимно простыми многочленами. Любая рациональная дробь может быть приведена к несократимому виду путём деления числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя. Любая неправильная рациональная дробь единственным образом представима в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби^[17].

Правильная рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель представляет собой степень неприводимого многочлена, а степень числителя меньше степени этого неприводимого многочлена. Любая правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами может быть представлена в виде суммы простейших дробей, знаменателями которых являются выражения вида ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ (где ${\displaystyle a}$ — вещественный корень знаменателя кратности ${\displaystyle k}$) либо ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}$ (где квадратный трёхчлен не имеет действительных корней)^[18].

Исследование поведения рациональной функции существенно опирается на понятие асимптот — прямых, к которым неограниченно приближается график функции^[19][20].

• Вертикальные асимптоты. Прямая ${\displaystyle x=a}$ является вертикальной асимптотой, если ${\displaystyle \lim _{x\to a}|R(x)|=\infty }$. Вертикальными асимптотами являются все вещественные корни знаменателя ${\displaystyle Q(x)}$, не являющиеся корнями числителя ${\displaystyle P(x)}$ большей или равной кратности.
• Горизонтальные асимптоты. Прямая ${\displaystyle y=c}$ является горизонтальной асимптотой, если ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }R(x)=c}$. Горизонтальная асимптота существует тогда и только тогда, когда степень числителя не превышает степени знаменателя:

${\displaystyle c={\frac {a_{n}}{b_{m}}},\quad {\text{если }}n=m;\qquad c=0,\quad {\text{если }}n<m.}$

• Наклонные (косые) асимптоты. Прямая ${\displaystyle y=kx+b}$ является наклонной асимптотой, если ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }[R(x)-(kx+b)]=0}$. Наклонная асимптота существует, когда степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя (${\displaystyle n=m+1}$); коэффициенты ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle b}$ находятся как коэффициенты целой части при делении ${\displaystyle P(x)}$ на ${\displaystyle Q(x)}$.

Пример. Функция ${\displaystyle R(x)={\frac {x^{2}-1}{x-2}}}$ имеет вертикальную асимптоту ${\displaystyle x=2}$ и наклонную асимптоту ${\displaystyle y=x+2}$, поскольку ${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-2}}=x+2+{\frac {3}{x-2}}}$.

Рациональная функция дифференцируема во всей области определения, и её производная снова является рациональной функцией. По правилу частного:

${\displaystyle R'(x)={\frac {P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^{2}(x)}}.}$^[21]

Удобным инструментом является логарифмическая производная:

${\displaystyle {\frac {R'(x)}{R(x)}}={\frac {d}{dx}}\ln |R(x)|={\frac {P'(x)}{P(x)}}-{\frac {Q'(x)}{Q(x)}}.}$^[22]

Пусть задана рациональная функция ${\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$, где ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$ — многочлены. Логарифмической производной называется производная натурального логарифма модуля функции:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |R(x)|={\frac {R'(x)}{R(x)}}.}$

Равенство распадается на два шага.

Шаг 1. Первое равенство следует из цепного правила дифференцирования:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |u|={\frac {u'}{u}}.}$

Подставляя ${\displaystyle u=R(x)}$, получаем ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |R(x)|={\frac {R'(x)}{R(x)}}}$.

Шаг 2. Второе равенство использует свойство логарифма частного:

${\displaystyle \ln \left|{\frac {P(x)}{Q(x)}}\right|=\ln |P(x)|-\ln |Q(x)|.}$

Дифференцируя почленно:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |R(x)|={\frac {P'(x)}{P(x)}}-{\frac {Q'(x)}{Q(x)}}.}$

Логарифмическая производная является ключевым инструментом в методе Остроградского — Эрмита для выделения рациональной части интеграла рациональной функции:

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx={\frac {T(x)}{S(x)}}+\int {\frac {X(x)}{Y(x)}}\,dx,}$

где:

${\displaystyle S(x)=\gcd {\bigl (}Q(x),\,Q'(x){\bigr )}}$ — наибольший общий делитель знаменателя и его производной (содержит все кратные корни);

${\displaystyle Y(x)={\frac {Q(x)}{S(x)}}}$ — часть знаменателя с простыми корнями;

${\displaystyle T(x)}$ и ${\displaystyle X(x)}$ — многочлены с неопределёнными коэффициентами.

Использование логарифмической производной позволяет:

избежать громоздкого разложения на простейшие дроби при наличии кратных корней знаменателя;

автоматически выделить рациональную часть интеграла;

свести задачу к решению системы линейных уравнений для коэффициентов многочленов ${\displaystyle T(x)}$ и ${\displaystyle X(x)}$.

Для ${\displaystyle R(x)={\frac {x+1}{(x-1)^{2}}}}$ имеем:

${\displaystyle {\frac {R'(x)}{R(x)}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {2}{x-1}}.}$

Интегрируя, сразу получаем:

${\displaystyle \int {\frac {R'(x)}{R(x)}}\,dx=\ln |x+1|-2\ln |x-1|+C=\ln {\frac {|x+1|}{(x-1)^{2}}}+C.}$

Степень производной ${\displaystyle R'(x)}$ не превосходит ${\displaystyle 2n-2}$, где ${\displaystyle n}$ — степень исходной рациональной функции^[11].

На основании теоремы о разложении на простейшие дроби справедлива теорема об интегрируемости рациональных функций: любая рациональная функция имеет первообразную, выражающуюся через элементарные функции (многочлены, рациональные функции, логарифмы и арктангенсы)^[23][24].

Для практического вычисления интегралов применяется метод Эрмита—Остроградского, позволяющий выделить рациональную часть первообразной без разложения знаменателя на неприводимые множители.

Формула метода:

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}\,dx,}$

где

${\displaystyle Q_{1}(x)=\gcd(Q(x),Q'(x)),\quad Q_{2}(x)={\frac {Q(x)}{Q_{1}(x)}},}$

а многочлены ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$ с неопределёнными коэффициентами находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}.}$

Остаточный интеграл ${\displaystyle \int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}\,dx}$ содержит только трансцендентную часть (логарифмы и арктангенсы), так как знаменатель ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ не имеет кратных корней.

• Дробно-линейная функция (преобразование Мёбиуса):

${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}},}$

где ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$. Эти функции взаимно однозначно отображают сферу Римана на себя, сохраняя углы (конформны) и переводя окружности и прямые в окружности и прямые^[26].

• Преобразование Кэли (${\displaystyle w={\frac {z-i}{z+i}}}$) переводит верхнюю полуплоскость в единичный круг.

• Функция Жуковского:

${\displaystyle w={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).}$

Она конформно отображает внешность единичного круга на комплексную плоскость с разрезом вдоль отрезка ${\displaystyle [-1,1]}$ и получила фундаментальные применения в аэромеханике и гидромеханике^[27].

Поскольку рациональные функции являются аналитическими всюду, кроме своих полюсов, они допускают разложение в степенные ряды^[28]:

• В окрестности точки, не являющейся полюсом, рациональная функция разлагается в ряд Тейлора.
• В кольцевой окрестности полюса рациональная функция разлагается в ряд Лорана, причём главная часть ряда Лорана всегда содержит конечное число членов.

Разложение в ряд Лорана тесно связано с вычислением обратного преобразования Лапласа.

Рациональная функция степени ${\displaystyle n}$ является ${\displaystyle n}$-листным накрытием сферы Римана. Это означает, что уравнение ${\displaystyle R(z)=w}$ имеет ровно ${\displaystyle n}$ корней (с учётом кратности и точки ${\displaystyle \infty }$) для почти всех ${\displaystyle w\in {\widehat {\mathbb {C} }}}$. Это утверждение является следствием основной теоремы алгебры^[29].

Аппроксимация Паде — это представление функции в виде рациональной дроби ${\displaystyle R_{m,n}(x)={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}}$, ряд Тейлора которой совпадает с рядом Тейлора исходной функции до возможно более высокого порядка^[30].

В отличие от многочленов Тейлора, дроби Паде способны воспроизводить полюса приближаемой функции, что делает их особенно эффективными для мероморфных функций. Например, аппроксимация Паде для ${\displaystyle e^{x}}$ порядка ${\displaystyle (1,1)}$ имеет вид:

${\displaystyle e^{x}\approx {\frac {1+{\frac {x}{2}}}{1-{\frac {x}{2}}}}.}$

Любую рациональную функцию можно представить в виде конечной цепной (непрерывной) дроби. Это представление получается применением алгоритма Евклида к числителю и знаменателю и является аналогом разложения вещественного числа в цепную дробь^[31].

В задачах наилучшего равномерного приближения непрерывных функций на отрезке рациональные функции часто дают значительно меньшую погрешность, чем многочлены той же суммарной степени. Соответствующая теория была развита в работах П. Л. Чебышёва и А. А. Маркова^[1].

В теории автоматического управления (ТАУ) линейные стационарные системы описываются передаточной функцией — рациональной функцией от комплексной переменной ${\displaystyle s}$ (в непрерывном случае) или ${\displaystyle z}$ (в дискретном случае):

${\displaystyle W(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+\cdots +b_{m}s^{m}}{a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{n}s^{n}}}.}$

Корни знаменателя называются полюсами системы, а корни числителя — нулями. Устойчивость системы определяется расположением полюсов: система устойчива тогда и только тогда, когда все полюса имеют отрицательную вещественную часть (расположены в левой полуплоскости)^[32].

В цифровой обработке сигналов (ЦОС) рекурсивные (БИХ) фильтры задаются именно рациональными функциями от ${\displaystyle z}$ — это передаточная функция в области Z-преобразования:

${\displaystyle H(z)={\frac {\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}}}.}$

Анализ полюсов и нулей ${\displaystyle H(z)}$ позволяет проектировать фильтры с заданными частотными характеристиками (низкочастотные, высокочастотные, полосовые)^[33].

В электротехнике входное сопротивление (импеданс) линейных цепей переменного тока, состоящих из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, является рациональной функцией от комплексной частоты ${\displaystyle s=i\omega }$. Методы синтеза таких цепей (синтез по Фостеру и Кауэру) опираются на разложение рациональной функции в сумму простейших дробей^[34].