Дробно-линейное преобразование

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства на себя

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,}$ ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),}$

${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),}$

осуществляемое дробно-линейными функциями

${\displaystyle L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n,}$

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},}$ ${\displaystyle c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},}$ ${\displaystyle b_{k},d_{k}}$ — комплексные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0}$^[1].

В случае комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C} }$ получаем отличное от константы отображение вида

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

где ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$^[2].