Применение несобственного интеграла в математике и экономике

Если фигура ограничена графиком функции ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ и осью абсцисс на промежутке ${\displaystyle [a,\infty )}$, её площадь определяется как^[2]

${\displaystyle S=\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx.}$

Если этот интеграл сходится, фигура имеет конечную площадь, несмотря на то, что уходит в бесконечность.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой ${\displaystyle y=e^{-x}}$ и осью абсцисс на промежутке ${\displaystyle [0,\infty )}$.

${\displaystyle S=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx={\Bigl [}-e^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\lim _{b\to \infty }(-e^{-b})-(-1)=0+1=1.}$

Площадь равна ${\displaystyle 1}$, хотя фигура простирается до бесконечности.

Пример 2. Найти площадь фигуры под кривой ${\displaystyle y={\dfrac {1}{x^{2}}}}$ на промежутке ${\displaystyle [1,\infty )}$.

${\displaystyle S=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}={\Bigl [}-{\frac {1}{x}}{\Bigr ]}_{1}^{\infty }=0-(-1)=1.}$

Пример 3. Расходящийся случай. Площадь под кривой ${\displaystyle y={\dfrac {1}{x}}}$ на промежутке ${\displaystyle [1,\infty )}$:

${\displaystyle S=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\to \infty }\ln b=+\infty .}$

Несмотря на то, что кривая ${\displaystyle 1/x}$ убывает и стремится к нулю, площадь под ней бесконечна.

Если функция неограниченна в точке ${\displaystyle c}$, но фигура тем не менее может иметь конечную площадь.

Пример 4. Найти площадь фигуры под кривой ${\displaystyle y={\dfrac {1}{\sqrt {x}}}}$ на промежутке ${\displaystyle (0,1]}$.

${\displaystyle S=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\to 0+}\int _{t}^{1}x^{-1/2}\,dx=\lim _{t\to 0+}{\Bigl [}2{\sqrt {x}}{\Bigr ]}_{t}^{1}=2-0=2.}$

Функция обращается в бесконечность при ${\displaystyle x\to 0+}$, но площадь конечна.

Рассмотрим тело, которое получается вращением кривой ${\displaystyle y=1/x}$ при ${\displaystyle x\geq 1}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$. Это тело называют трубой Габриеля или рогом Торричелли^[2].

Объём тела вращения:

${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\pi \cdot 1=\pi .}$

Площадь боковой поверхности:

${\displaystyle S=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}\,dx>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=+\infty .}$

Парадокс состоит в том, что тело имеет конечный объём, но бесконечную площадь поверхности.

Объём тела, полученного вращением графика ${\displaystyle y=f(x)\geq 0}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$ на промежутке ${\displaystyle [a,\infty )}$, вычисляется по формуле^[2]

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{\infty }[f(x)]^{2}\,dx.}$

Пример 5. Найти объём тела вращения кривой ${\displaystyle y=e^{-x}}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$ на промежутке ${\displaystyle [0,\infty )}$.

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx=\pi {\Bigl [}-{\tfrac {1}{2}}e^{-2x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\pi \left(0+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}$

Пример 6. Найти объём тела вращения кривой ${\displaystyle y={\dfrac {1}{\sqrt {x}}}}$ вокруг оси ${\displaystyle Ox}$ на промежутке ${\displaystyle (0,1]}$.

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}=\pi \lim _{t\to 0+}{\Bigl [}\ln x{\Bigr ]}_{t}^{1}=\pi \lim _{t\to 0+}(-\ln t)=+\infty .}$

Объём бесконечен, хотя площадь под этой же кривой конечна (см. пример 4). Это показывает, что площадь и объём могут вести себя по-разному.

Гамма-функция Эйлера определяется несобственным интегралом^[3]:

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt,\qquad s>0.}$

Сходимость этого интеграла обеспечивается тем, что экспонента убывает быстрее любой степени при ${\displaystyle t\to \infty }$, а при ${\displaystyle t\to 0+}$ показатель ${\displaystyle s-1>-1}$.

Интегрируя по частям:

${\displaystyle \Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}e^{-t}\,dt={\Bigl [}-t^{s}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt=s\,\Gamma (s).}$

Таким образом,

${\displaystyle \Gamma (s+1)=s\,\Gamma (s).}$

Поскольку ${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1}$, по рекуррентному соотношению:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\qquad n\in \mathbb {N} .}$

Гамма-функция является непрерывным обобщением факториала на вещественные числа.

Пример 9. Вычислить ${\displaystyle \Gamma (1/2)}$.

${\displaystyle \Gamma \!\left({\tfrac {1}{2}}\right)=\int _{0}^{\infty }t^{-1/2}e^{-t}\,dt.}$

Сделаем замену ${\displaystyle t=u^{2}}$, ${\displaystyle dt=2u\,du}$:

${\displaystyle \Gamma \!\left({\tfrac {1}{2}}\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u^{2}}}{u}}\cdot 2u\,du=2\int _{0}^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}.}$

(Здесь использован интеграл Гаусса, который вычислен ниже в разделе о теории вероятностей.)

Тесно связана с гамма-функцией бета-функция Эйлера^[3]:

${\displaystyle B(p,q)=\int _{0}^{1}t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt,\qquad p,q>0.}$

Связь между функциями:

${\displaystyle B(p,q)={\frac {\Gamma (p)\,\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}.}$

Пример 10. Вычислить ${\displaystyle B(3,2)}$.

По формуле:

${\displaystyle B(3,2)={\frac {\Gamma (3)\,\Gamma (2)}{\Gamma (5)}}={\frac {2!\cdot 1!}{4!}}={\frac {2}{24}}={\frac {1}{12}}.}$

Проверка прямым вычислением:

${\displaystyle B(3,2)=\int _{0}^{1}t^{2}(1-t)\,dt=\int _{0}^{1}(t^{2}-t^{3})\,dt={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{12}}.\quad \checkmark }$

Если доход поступает непрерывно со скоростью ${\displaystyle R(t)}$ в момент времени ${\displaystyle t}$, а ставка дисконтирования равна ${\displaystyle r}$, то приведённая стоимость бесконечного потока платежей^[4]:

${\displaystyle PV=\int _{0}^{\infty }R(t)\,e^{-rt}\,dt.}$

Пример 11. Постоянный доход. При ${\displaystyle R(t)=R={\text{const}}}$:

${\displaystyle PV=R\int _{0}^{\infty }e^{-rt}\,dt=R\cdot {\frac {1}{r}}={\frac {R}{r}}.}$

Это формула для приведённой стоимости вечной ренты.

Пример 12. Растущий доход. Пусть доход растёт экспоненциально: ${\displaystyle R(t)=R_{0}e^{gt}}$, где ${\displaystyle g<r}$.

${\displaystyle PV=R_{0}\int _{0}^{\infty }e^{(g-r)t}\,dt=R_{0}\cdot {\frac {1}{r-g}}={\frac {R_{0}}{r-g}}.}$

Это модель Гордона для оценки стоимости акции с постоянным темпом роста дивидендов.

Пример 13. Ценность природного ресурса. Если запасы ресурса убывают со временем, а доход от его продажи при цене ${\displaystyle p(t)=p_{0}e^{-\delta t}}$:

${\displaystyle PV=\int _{0}^{\infty }p_{0}e^{-\delta t}e^{-rt}\,dt={\frac {p_{0}}{r+\delta }}.}$

В финансовой математике меры риска часто выражаются через интегралы от хвоста распределения^[4]:

${\displaystyle {\text{CVaR}}_{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}{\text{VaR}}_{u}\,du,}$

где ${\displaystyle {\text{VaR}}_{u}}$ — квантиль уровня ${\displaystyle u}$.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Вычисление через дифференцирование по параметру. Рассмотрим

${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \alpha \geq 0.}$

Дифференцируем по ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle I'(\alpha )=-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}\sin x\,dx=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}}.}$

Интегрируем:

${\displaystyle I(\alpha )=-\operatorname {arctg} \alpha +C.}$

При ${\displaystyle \alpha \to \infty }$ ${\displaystyle I(\alpha )\to 0}$, поэтому ${\displaystyle C=\pi /2}$. При ${\displaystyle \alpha =0}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=I(0)={\frac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}\cos(\beta x)\,dx={\frac {\alpha }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\qquad \alpha >0.}$

Вычисление. Интегрируем по частям дважды или рассматриваем вещественную часть:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}\cos(\beta x)\,dx=\operatorname {Re} \int _{0}^{\infty }e^{-(\alpha -i\beta )x}\,dx=\operatorname {Re} {\frac {1}{\alpha -i\beta }}={\frac {\alpha }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.}$

Интегралы Фрезнеля возникают в оптике:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(x^{2})\,dx=\int _{0}^{\infty }\cos(x^{2})\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}$

Вычисление проводится через контурное интегрирование в комплексной плоскости или через интеграл Гаусса. Положим ${\displaystyle x^{2}=t}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(x^{2})\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos t}{\sqrt {t}}}\,dt.}$

Используя стандартную формулу ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\cos t\,dt=\Gamma (\alpha )\cos {\frac {\pi \alpha }{2}}}$ при ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$, получаем нужный результат.

Более общий интеграл:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\Gamma \!\left({\dfrac {n+1}{2}}\right)}{2}}.}$

Вывод. Положим ${\displaystyle x^{2}=t}$, ${\displaystyle 2x\,dx=dt}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }t^{(n-1)/2}e^{-t}\,dt={\frac {1}{2}}\,\Gamma \!\left({\frac {n+1}{2}}\right).}$

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ монотонно убывает и ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ при ${\displaystyle x\geq 1}$. Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ и интеграл ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$ сходятся или расходятся одновременно.

Пример 14. Ряд ${\displaystyle \sum n^{-p}}$.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}}$

сходится при ${\displaystyle p>1}$ и расходится при ${\displaystyle p\leq 1}$. Следовательно, ряд Дирихле ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-p}}$ сходится при ${\displaystyle p>1}$ и расходится при ${\displaystyle p\leq 1}$.

Пример 15. Ряд ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\ln n}}}$.

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}={\Bigl [}\ln \ln x{\Bigr ]}_{2}^{\infty }=+\infty .}$

Следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\dfrac {1}{n\ln n}}}$ расходится.

Пример 16. Ряд ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n(\ln n)^{2}}}}$.

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x(\ln x)^{2}}}={\Bigl [}-{\frac {1}{\ln x}}{\Bigr ]}_{2}^{\infty }={\frac {1}{\ln 2}}<\infty .}$

Следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\dfrac {1}{n(\ln n)^{2}}}}$ сходится.

Если ряд сходится, то остаток ${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }f(n)}$ можно оценить через интеграл:

${\displaystyle \int _{N+1}^{\infty }f(x)\,dx\leq R_{N}\leq \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx.}$

Пример 17. Для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-2}}$ оценим остаток при ${\displaystyle N=10}$:

${\displaystyle \int _{11}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {1}{11}}\leq R_{10}\leq \int _{10}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {1}{10}}.}$

Двойной интеграл по неограниченной области также является несобственным. Например, интеграл Гаусса в двумерном случае^[1]:

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\pi .}$

Это вычисляется переходом к полярным координатам:

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}\cdot 2\pi r\,dr=\pi \int _{0}^{\infty }e^{-u}\,du=\pi .}$

В теории потенциала часто встречаются криволинейные интегралы по бесконечным кривым. Например, работа поля вдоль бесконечной траектории:

${\displaystyle A=\int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{\infty }F(r(t))|r'(t)|\,dt.}$

Интегральный логарифм определяется как^[5]:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {v.p.} \int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Интегральные синус и косинус:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt,\qquad \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt.}$

Эти функции не выражаются через элементарные, но важны в теории сигналов и оптике.

Многие несобственные интегралы дают значения, связанные с числом ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi ,}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2}){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}},}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Последние два вычисляются заменой переменной и гамма-функцией.