Применение несобственного интеграла в физике

Работа, которую нужно совершить, чтобы переместить тело массой ${\displaystyle m}$ из точки ${\displaystyle r=R}$ на бесконечность против силы тяготения планеты массой ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle A=\int _{R}^{\infty }F(r)\,dr=\int _{R}^{\infty }{\frac {GMm}{r^{2}}}\,dr=GMm{\Bigl [}-{\frac {1}{r}}{\Bigr ]}_{R}^{\infty }={\frac {GMm}{R}},}$

где ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная^[1].

Эта величина и есть потенциальная энергия притяжения, взятая с обратным знаком.

Аналогично для кулоновской силы:

${\displaystyle A=\int _{R}^{\infty }{\frac {kq_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,dr={\frac {kq_{1}q_{2}}{R}},}$

что задаёт потенциальную энергию системы двух зарядов^[2].

Из условия ${\displaystyle A={\dfrac {mv^{2}}{2}}}$ немедленно следует минимальная скорость, необходимая для выхода тела за пределы притяжения:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}.}$

Для Земли (${\displaystyle M\approx 5{,}97\cdot 10^{24}}$ кг, ${\displaystyle R\approx 6{,}37\cdot 10^{6}}$ м) получаем ${\displaystyle v\approx 11{,}2}$ км/с — вторая космическая скорость.

Пусть стержень расположен вдоль оси ${\displaystyle Ox}$ и имеет линейную плотность заряда ${\displaystyle \lambda }$. Напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии ${\displaystyle d}$ от стержня, находится суммированием вкладов всех элементов:

${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k\lambda d\,dx}{(x^{2}+d^{2})^{3/2}}}=k\lambda d{\Bigl [}{\frac {x}{d^{2}{\sqrt {x^{2}+d^{2}}}}}{\Bigr ]}_{-\infty }^{\infty }={\frac {2k\lambda }{d}}.}$

Этот результат совпадает с известной формулой для поля бесконечной нити^[1].

В теории теплопроводности фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi a^{2}t}}}\,e^{-x^{2}/(4a^{2}t)}.}$

Условие нормировки (полное количество тепла сохраняется):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u(x,t)\,dx={\frac {1}{\sqrt {4\pi a^{2}t}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/(4a^{2}t)}\,dx={\frac {1}{\sqrt {4\pi a^{2}t}}}\cdot {\sqrt {4\pi a^{2}t}}=1.}$

Это прямое следствие интеграла Гаусса^[3][4].

Плотность энергии электрического поля убывает при удалении от источника. Полная энергия поля в пространстве вычисляется как

${\displaystyle W=\int _{\mathbb {R} ^{3}}w(\mathbf {r} )\,d^{3}r,}$

где ${\displaystyle w(\mathbf {r} )\propto |\mathbf {E} (\mathbf {r} )|^{2}}$. Для поля точечного заряда ${\displaystyle w\propto r^{-4}}$, и интеграл по радиусу ведёт себя как ${\displaystyle \int r^{-2}\,dr}$. Он сходится на бесконечности, но расходится при ${\displaystyle r\to 0}$. В классической электродинамике это приводит к известной проблеме бесконечной собственной энергии точечного заряда, которая снимается либо учётом конечного радиуса частицы, либо методами квантовой теории поля.

Полный путь, пройденный телом при колебаниях с экспоненциальным затуханием ${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta t}\cos(\omega t)}$ (за бесконечное время), конечен и равен

${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }|x'(t)|\,dt<\infty ,}$

поскольку ${\displaystyle |x'(t)|\leq Ce^{-\beta t}}$ и ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\beta t}\,dt=1/\beta }$^[5].

Пусть стержень занимает полуось ${\displaystyle [0,\infty )}$, а его линейная плотность равна ${\displaystyle \rho (x)}$. Масса стержня:

${\displaystyle m=\int _{0}^{\infty }\rho (x)\,dx,}$

координата центра масс:

${\displaystyle x_{c}={\frac {1}{m}}\int _{0}^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$

Пример 1. Стержень на ${\displaystyle [0,\infty )}$ с плотностью ${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$. Масса:

${\displaystyle m=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1.}$

Координата центра масс:

${\displaystyle x_{c}=\int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,dx.}$

Интегрируем по частям с ${\displaystyle u=x}$, ${\displaystyle dv=e^{-x}dx}$:

${\displaystyle x_{c}={\Bigl [}-xe^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=0+1=1.}$

Центр масс находится в точке ${\displaystyle x_{c}=1}$.

Момент инерции стержня относительно начала координат:

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }x^{2}\,\rho (x)\,dx.}$

Пример 2. Для того же стержня из примера 1:

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}\,dx.}$

Интегрируем по частям дважды. После первого применения:

${\displaystyle I={\Bigl [}-x^{2}e^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+2\int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,dx=0+2\cdot 1=2.}$

(здесь использован результат примера 1).

Потенциал гравитационного поля в точке ${\displaystyle \mathbf {r} }$, создаваемый распределённой массой с плотностью ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$:

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=-G\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}r'.}$

Этот интеграл является несобственным как по бесконечной области интегрирования, так и по особенности подынтегральной функции при ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} }$.

Решение задачи Дирихле для полуплоскости (${\displaystyle y>0}$) выражается через интеграл Пуассона^[6]:

${\displaystyle u(x,y)={\frac {y}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)\,dt}{(x-t)^{2}+y^{2}}},}$

где ${\displaystyle f(t)=u(t,0)}$ — граничное условие.

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на всей прямой:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi a^{2}t}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{4a^{2}t}}}\,u_{0}(\xi )\,d\xi ,}$

где ${\displaystyle u_{0}(\xi )}$ — начальное распределение температуры^[7]. Это несобственный интеграл по бесконечному промежутку.