Сходимость несобственного интеграла

Несобственный интеграл называется сходящимся, если определяющий его предел существует и конечен^[1]. Если предел не существует или равен ${\displaystyle +\infty }$ либо ${\displaystyle -\infty }$, интеграл называется расходящимся. Иногда пишут, например,

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=+\infty ,}$

но это означает не сходимость, а то, что интеграл расходится с уходом в бесконечность.

• Интеграл

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$

сходится, потому что

${\displaystyle \int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=1-{\frac {1}{b}}\to 1.}$

Следовательно,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=1.}$

• Интеграл

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

расходится, потому что

${\displaystyle \int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln b\to \infty .}$

• Интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}}$

сходится:

${\displaystyle \int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\left[2{\sqrt {x}}\right]_{t}^{1}=2-2{\sqrt {t}}\to 2\quad (t\to 0+).}$

• Интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

расходится:

${\displaystyle \int _{t}^{1}{\frac {dx}{x}}=-\ln t\to \infty \quad (t\to 0+).}$

Сходимость несобственного интеграла определяется поведением функции только там, где возникает проблема^[2]:

• для ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ — при больших ${\displaystyle x}$;
• для ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ с особенностью в ${\displaystyle b}$ — вблизи точки ${\displaystyle b}$;
• для особенности в точке ${\displaystyle c}$ — вблизи точки ${\displaystyle c}$.

Из этого следуют полезные факты:

• изменение функции на любом конечном участке не влияет на сходимость интеграла на бесконечном промежутке;
• значения функции в отдельных точках не влияют на значение интеграла;
• при сравнении функций достаточно рассматривать их поведение для больших ${\displaystyle x}$ или вблизи особой точки.

Критерий Коши даёт удобный способ проверять сходимость без явного вычисления предела^[1].

Интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$

сходится тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует число ${\displaystyle A}$, такое, что для любых ${\displaystyle b_{1},b_{2}>A}$ выполняется

${\displaystyle \left|\int _{b_{1}}^{b_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon .}$

Смысл этого условия: «хвост» интеграла должен становиться сколь угодно малым.

Интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

с особенностью в точке ${\displaystyle b}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$, такое, что для любых ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$, удовлетворяющих

${\displaystyle b-\delta <t_{1}<t_{2}<b,}$

выполняется

${\displaystyle \left|\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(x)\,dx\right|<\varepsilon .}$

Несобственный интеграл

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл^[1]

${\displaystyle \int |f(x)|\,dx.}$

Если сам интеграл ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ сходится, а интеграл ${\displaystyle \int |f(x)|\,dx}$ расходится, то говорят об условной сходимости. Факт: абсолютная сходимость всегда влечёт обычную сходимость^[2]. Для несобственных интегралов это очень важное усиление: если удаётся доказать сходимость для ${\displaystyle |f|}$, то вопрос решён полностью.

Пусть функции неотрицательны и для всех достаточно больших ${\displaystyle x}$ выполнено^[3]

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x).}$

Тогда:

• если сходится ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$, то сходится и ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$;
• если расходится ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$, то расходится и ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$.

То же верно и для особенностей в конечной точке: сравнение нужно делать не на всём промежутке, а рядом с проблемной точкой. Для знакопеременных функций чаще сравнивают не сами функции, а их модули:

${\displaystyle |f(x)|\leq g(x),\quad g(x)\geq 0.}$

Если при этом сходится ${\displaystyle \int g(x)\,dx}$, то ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ сходится абсолютно.

Пусть ${\displaystyle f(x)>0}$ и ${\displaystyle g(x)>0}$ при достаточно больших ${\displaystyle x}$, и существует предел^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=L,\qquad 0<L<\infty .}$

Тогда интегралы

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx\quad {\text{и}}\quad \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$

ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся. Аналогичное утверждение верно и вблизи особой точки.

Если

${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$

при ${\displaystyle x\to \infty }$ или при подходе к особой точке, то есть

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}\to 1,}$

то для положительных функций интегралы от ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ имеют один и тот же характер сходимости^[2]. На практике это означает, что сложную функцию часто можно заменить более простой «главной частью».

Признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода формулируются аналогично признакам для первого рода, но сравнение функций проводится не при больших ${\displaystyle x}$, а вблизи особой точки^[2].

Пусть функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ определены на ${\displaystyle [a,b)}$, неотрицательны, и пусть особенность находится в точке ${\displaystyle b}$. Если

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$

для всех ${\displaystyle x}$, достаточно близких к ${\displaystyle b}$, то:

• если сходится ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$, то сходится и ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$;
• если расходится ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$, то расходится и ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)>0}$ и ${\displaystyle g(x)>0}$ на ${\displaystyle [a,b)}$, и существует предел

${\displaystyle \lim _{x\to b-}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L,\qquad 0<L<\infty .}$

Тогда интегралы ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ и ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Если

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad {\text{при }}x\to b-,}$

то для положительных функций интегралы имеют одинаковый характер сходимости. На практике это означает: сложную функцию заменяют её «главной частью» вблизи особой точки.

Главный эталон для особенностей в конечной точке — это интеграл^[4]

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {dx}{(b-x)^{p}}},}$

который:

• сходится при ${\displaystyle p<1}$;
• расходится при ${\displaystyle p\geq 1}$.

Аналогично для особенности в точке ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {dx}{(x-a)^{p}}}}$

• сходится при ${\displaystyle p<1}$;
• расходится при ${\displaystyle p\geq 1}$.

• Исследовать сходимость

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Особенность в точке ${\displaystyle x=1}$. Найдём главную часть вблизи этой точки. При ${\displaystyle x\to 1-}$:

${\displaystyle 1-x^{2}=(1-x)(1+x)\sim 2(1-x),}$

поэтому

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\sim {\frac {1}{\sqrt {2(1-x)}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {1}{(1-x)^{1/2}}}.}$

Интеграл от ${\displaystyle (1-x)^{-1/2}}$ сходится, поскольку показатель степени ${\displaystyle p=1/2<1}$. По признаку сравнения исходный интеграл тоже сходится.

• Исследовать сходимость

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x-\sin x}}.}$

Особенность в точке ${\displaystyle x=0}$. При ${\displaystyle x\to 0+}$:

${\displaystyle x-\sin x\sim {\frac {x^{3}}{6}},}$

поэтому

${\displaystyle {\frac {1}{x-\sin x}}\sim {\frac {6}{x^{3}}}.}$

Интеграл от ${\displaystyle x^{-3}}$ расходится, поскольку показатель ${\displaystyle p=3\geq 1}$. По признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится.

• Исследовать сходимость

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x\,dx}{\sqrt[{3}]{1-x^{4}}}}.}$

Особенность в точке ${\displaystyle x=1}$. При ${\displaystyle x\to 1-}$:

${\displaystyle 1-x^{4}=(1-x)(1+x+x^{2}+x^{3})\sim 4(1-x),}$

поэтому

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt[{3}]{1-x^{4}}}}\sim {\frac {1}{\sqrt[{3}]{4(1-x)}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{4}}}\cdot {\frac {1}{(1-x)^{1/3}}}.}$

Показатель степени ${\displaystyle p=1/3<1}$, значит интеграл сходится.

Собраны все основные признаки в одной таблице^[4]. В столбце «Тип» указано, для какого рода признак применяется в первую очередь, хотя через замену переменной любой признак переносится на оба рода.

Признак	Условие	Вывод	Тип
Прямое сравнение (сходимость)	${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ вблизи проблемной точки, ${\displaystyle \int g}$ сходится	${\displaystyle \int f}$ сходится	I и II
Прямое сравнение (расходимость)	${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ вблизи проблемной точки, ${\displaystyle \int g}$ расходится	${\displaystyle \int f}$ расходится	I и II
Предельное сравнение	${\displaystyle f,g>0}$, ${\displaystyle \lim {\dfrac {f}{g}}=L\in (0,\infty )}$	${\displaystyle \int f}$ и ${\displaystyle \int g}$ ведут себя одинаково	I и II
Асимптотическая эквивалентность	${\displaystyle f\sim g}$ вблизи проблемной точки, ${\displaystyle f,g>0}$	${\displaystyle \int f}$ и ${\displaystyle \int g}$ ведут себя одинаково	I и II
Признак Дирихле	${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,dt}$ ограничена, ${\displaystyle g}$ монотонна, ${\displaystyle g\to 0}$	${\displaystyle \int fg}$ сходится	I и II
Признак Абеля	${\displaystyle \int f}$ сходится, ${\displaystyle g}$ монотонна и ограничена	${\displaystyle \int fg}$ сходится	I и II
Абсолютная сходимость	${\displaystyle \int |f|}$ сходится	${\displaystyle \int f}$ сходится	I и II

• Функция знакопостоянна → признак прямого или предельного сравнения с эталонным интегралом.
• Функция знакопеременна, произведение двух множителей → проверяем признаки Дирихле или Абеля.
• Непонятно, сходится ли → пробуем оценить сверху через модуль и применить прямое сравнение (это даст абсолютную сходимость).
• Нет подходящего эталона → ищем асимптотику функции вблизи проблемной точки и находим эталонный интеграл.

Ниже приведены наиболее важные ориентиры^[2].

Интеграл	Когда сходится
${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}}$	тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p>1}$
${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{p}}}}$	тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p<1}$
${\displaystyle \int _{e}^{\infty }{\frac {dx}{x(\ln x)^{\alpha }}}}$	тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha >1}$
${\displaystyle \int _{0}^{1/e}{\frac {dx}{x|\ln x|^{\alpha }}}}$	тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha >1}$

Именно с ним чаще всего сравнивают функции при больших ${\displaystyle x}$^[3]. Для ${\displaystyle p\neq 1}$:

${\displaystyle \int _{1}^{b}x^{-p}\,dx={\frac {b^{1-p}-1}{1-p}}.}$

Отсюда видно:

• если ${\displaystyle p>1}$, то ${\displaystyle b^{1-p}\to 0}$, и интеграл сходится;
• если ${\displaystyle p<1}$, то ${\displaystyle b^{1-p}\to \infty }$, и интеграл расходится.

При ${\displaystyle p=1}$ получается логарифм:

${\displaystyle \int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln b,}$

поэтому интеграл тоже расходится.

Здесь характер сходимости противоположный^[1]:

• при ${\displaystyle p<1}$ интеграл сходится;
• при ${\displaystyle p\geq 1}$ расходится.

Это один из главных тестов для особенностей вида ${\displaystyle x^{-p}}$ вблизи нуля.

Ниже приведены функции, которые чаще всего встречаются в задачах, и краткое указание на их поведение^[4].

Функция	Ведёт себя как	${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$	Замечание
${\displaystyle e^{-\alpha x}}$, ${\displaystyle \alpha >0}$	убывает быстро	сходится	быстрее любой степени
${\displaystyle x^{-p}}$	степенная	сходится при ${\displaystyle p>1}$	главный эталон
${\displaystyle {\dfrac {\ln x}{x^{p}}}}$	медленнее ${\displaystyle x^{-p+\varepsilon }}$	сходится при ${\displaystyle p>1}$	логарифм не меняет характер
${\displaystyle x^{-1}(\ln x)^{-\alpha }}$	близко к ${\displaystyle x^{-1}}$	сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$	логарифм важен при ${\displaystyle p=1}$
${\displaystyle {\dfrac {\sin x}{x^{p}}}}$	знакопеременна	сходится при ${\displaystyle p>0}$ (условно при ${\displaystyle 0<p\leq 1}$)	признак Дирихле
${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {x}}}}$	медленно убывает	расходится	${\displaystyle p=1/2<1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{x+\sin x}}}$	${\displaystyle \sim {\dfrac {1}{x}}}$	расходится	предельное сравнение с ${\displaystyle 1/x}$

Функция	Ведёт себя как	${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx}$	Замечание
${\displaystyle x^{-p}}$	степенная	сходится при ${\displaystyle p<1}$	главный эталон
${\displaystyle |\ln x|^{\alpha }}$	медленно растёт	сходится	логарифм интегрируем в нуле
${\displaystyle x^{-1}|\ln x|^{-\alpha }}$	близко к ${\displaystyle x^{-1}}$	сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$	логарифм важен при ${\displaystyle p=1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{\sin x}}}$	${\displaystyle \sim {\dfrac {1}{x}}}$	расходится	${\displaystyle p=1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {\sin x}}}}$	${\displaystyle \sim {\dfrac {1}{\sqrt {x}}}}$	сходится	${\displaystyle p=1/2<1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{x-\sin x}}}$	${\displaystyle \sim {\dfrac {6}{x^{3}}}}$	расходится	${\displaystyle p=3\geq 1}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {1-x}}}}$	${\displaystyle \sim {\dfrac {1}{\sqrt {1-x}}}}$	сходится (особенность в ${\displaystyle 1}$)	${\displaystyle p=1/2<1}$

Эти признаки полезны для знакопеременных функций^[1].

Пусть:

• функция ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ ограничена;
• функция ${\displaystyle g(x)}$ монотонна и ${\displaystyle g(x)\to 0}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$.

Тогда интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}$

сходится.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx.}$

Здесь можно взять

${\displaystyle f(x)=\sin x,\qquad g(x)={\frac {1}{x}}.}$

Функция

${\displaystyle F(x)=\int _{1}^{x}\sin t\,dt=\cos 1-\cos x}$

ограничена, а ${\displaystyle 1/x}$ монотонно убывает к нулю. Значит, интеграл сходится^[2].

Пусть:

• интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ сходится;
• функция ${\displaystyle g(x)}$ монотонна и ограничена.

Тогда интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}$

тоже сходится.

Для интеграла по всей числовой оси важно не путать два разных понятия^[3].

По определению,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

означает сумму двух интегралов:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{\infty }f(x)\,dx,}$

и оба должны сходиться.

Иногда рассматривают главное значение (в смысле Коши)^[1]:

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{A\to \infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,}$

если этот предел существует. Это не то же самое, что обычный несобственный интеграл. Например, для функции ${\displaystyle f(x)=x}$ на всей оси симметричный интеграл по ${\displaystyle [-A,A]}$ равен нулю, но однонаправленные интегралы

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x\,dx\quad {\text{и}}\quad \int _{-\infty }^{0}x\,dx}$

расходятся. Значит, обычного несобственного интеграла нет, хотя симметричный предел существует. То же самое происходит с интегралом

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}.}$

Его главное значение равно нулю, но сам несобственный интеграл не существует, потому что оба односторонних интеграла расходятся.

Рассмотрим

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx.}$

По признаку Дирихле этот интеграл сходится^[2]. Но интеграл

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,dx}$

расходится. Действительно, на каждом промежутке ${\displaystyle [k\pi ,(k+1)\pi ]}$ выполнено

${\displaystyle \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin x|\,dx=2,}$

а также

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{(k+1)\pi }}\quad {\text{на }}[k\pi ,(k+1)\pi ].}$

Значит,

${\displaystyle \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{x}}\,dx\geq {\frac {2}{(k+1)\pi }}.}$

Сумма правых частей ведёт себя как гармонический ряд, значит интеграл от ${\displaystyle |\sin x|/x}$ расходится. Следовательно,

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$

сходится условно, но не абсолютно.