Интегральный логарифм

Впервые Эйлер исследовал функцию ${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {dx}{\log x}}}$ в своей работе «Institutiones Calculus integralis» (1768—1770). Название и обозначение ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$ ввёл Зольднер, который написал книгу об интегральном логарифме «Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante» (1809). Обозначение ${\displaystyle \mathrm {li} }$ составлено из начальных букв слов logarithm integralis. Термин был повторён де Морганом (1842) и Бретшнайдером (1873).

Гаусс рассказывал, что интерес к этой функции у него возник, когда ему было 15—16 лет и он догадался, что разность ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)-\mathrm {li} \,(2)}$ выражает число простых чисел, меньших чем ${\displaystyle x}$. Гаусс и Бессель вычислили таблицы интегрального логарифма (1810—1812)^[2].

Специальные функции — часто встречающиеся в различных задачах математической физики функции, не выражающиеся, как правило, через элементарные функции и представляемые с помощью специальных рядов или интегралов.

Трансцендентные функции — относятся к специальным функциям и играют важную роль. К ним относятся гамма-функция, дзета-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус и интегральный косинус и др.^[3]

Определённый интеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$ называется интегральным логарифмом и обозначается ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$. 

При ${\displaystyle x>1}$ интеграл расходится в точке ${\displaystyle t=1}$. В этом случае под интегралом понимается главное значение несобственного интеграла: ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\lim _{\varepsilon \to +0}\left\{\int \limits _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int \limits _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right\}}$.

При малых ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)\approx {\frac {x}{\ln(1/x)}}}$.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношениями:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(z)=\mathrm {Ei} \,(\ln z)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ei} (z)=\mathrm {li} \,(e^{z})}$.

Для действительных положительных значений аргумента ${\displaystyle z=x}$ можно определить действительную функцию^[4]:

${\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)={\begin{cases}\mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x),&{\text{при}}\,0<x<1,\\\mathrm {li} \,(x)+\pi i=\mathrm {Ei^{*}} \,(\ln x),&{\text{при}}\,x>1.\end{cases}}}$

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке ${\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }$ (число Рамануджана — Солднера).

Интегральный логарифм представляется в виде ряда:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=C+\ln |\ln x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln(x))^{k}}{k\cdot k!}}}$, ${\displaystyle k>0}$, ${\displaystyle x\neq 1}$, где ${\displaystyle C\approx 0{,}5772\ldots }$ — постоянная Эйлера-Маскерони^[5].

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=C+\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

В плоскости комплексного переменного ${\displaystyle z}$ интегральный логарифм ${\displaystyle \mathrm {li} \,(z)=C+\ln(-\ln z)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln(z))^{k}}{k\cdot k!}}}$ есть однозначная аналитическая функция с разрезами вдоль действительной оси от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle 0}$ и от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle +\infty }$ (мнимые части логарифмов берутся при этом в пределах от ${\displaystyle -\pi }$ до ${\displaystyle \pi }$).

Поведение функции ${\displaystyle \mathrm {li} \,(z)}$ вблизи разреза ${\displaystyle (1,+\infty )}$ описывается соотношениями: ${\displaystyle \lim _{\eta \to 0}\mathrm {li} \,(x\pm i\eta )=\mathrm {li} \,(x)\mp \pi i,\,x>1,\,\eta >0}$^[1].

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем ${\displaystyle x/\ln {x}}$. При справедливости гипотезы Римана выполняется

${\displaystyle \pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).}$

Для не слишком больших ${\displaystyle x}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}$, однако при некотором достаточно большом ${\displaystyle x}$ неравенство меняет знак.