Осциллятор Ван дер Поля

Уравнение появилось в работах Бальтазара Ван дер Поля — физика лаборатории компании Philips в Эйндховене, занимавшегося теорией радиотелеграфной связи. В статье 1920 года о колебаниях триодного генератора он вывел уравнение с кубической нелинейностью характеристики лампы и определил установившуюся амплитуду генерации^[6]. В статье 1926 года «О „релаксационных колебаниях“» ван дер Поль выделил новый класс колебаний — релаксационные, ввёл сам термин и исследовал предельные случаи малого и большого параметра; в безразмерных переменных уравнение приняло канонический вид, ныне носящий его имя^[7].

Годом позже ван дер Поль и Я. ван дер Марк опубликовали в Nature заметку о делении частоты в вынужденном режиме, отметив между областями деления «нерегулярный шум» — эпизод, который сегодня трактуется как одно из первых экспериментальных наблюдений детерминированного хаоса^[8]. В 1928 году они применили релаксационные колебания к моделированию электрической активности сердца, построив электрическую модель из нескольких связанных релаксационных генераторов^[9].

Математическое обоснование устойчивых автоколебаний дал Альфред Льевнар (1928), доказавший теорему о единственности предельного цикла для широкого класса уравнений второго порядка, включающего уравнение Ван дер Поля^[3]; в том же году А. А. Андронов связал автоколебания с предельными циклами Пуанкаре. Асимптотику релаксационных колебаний построил А. А. Дородницын (1947)^[10]. Систематическое изложение теории автоколебаний, опирающееся на эти результаты, дано в классической монографии Андронова, Витта и Хайкина «Теория колебаний»^[11].

В годы Второй мировой войны Мэри Картрайт и Джон Литтлвуд, работая над задачами теории нелинейных радиотехнических устройств, исследовали вынужденное уравнение Ван дер Поля с большим параметром и обнаружили неожиданно сложное, нерегулярное поведение решений^[5]; продолжение этих исследований Левинсоном привело к построению отображений с гомоклинической структурой, откуда выросла «подкова» Смейла и современная теория хаоса^[12][4]. В дальнейшем осциллятор Ван дер Поля стал стандартной моделью нелинейной динамики и теории синхронизации^[13], а его обобщение — модель Фицхью — Нагумо — одной из базовых моделей нейрона^[14][15].

Уравнение описывает колебательный контур с усилителем (первоначально — на триоде), в который подводится энергия от источника питания через обратную связь, а нелинейность характеристики лампы ограничивает рост амплитуды^[6]. Приведение уравнений контура к безразмерному виду даёт каноническую форму

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

или, в виде системы первого порядка,

${\displaystyle {\dot {x}}=v,\qquad {\dot {v}}=\mu (1-x^{2})v-x.}$

Слагаемое ${\displaystyle -\mu (1-x^{2}){\dot {x}}}$ играет роль вязкого трения с коэффициентом ${\displaystyle c(x)=\mu (x^{2}-1)}$, зависящим от координаты: при ${\displaystyle |x|<1}$ трение отрицательно (энергия поступает в систему), при ${\displaystyle |x|>1}$ — положительно (энергия рассеивается). Именно такое «подпитывающее при малых амплитудах и гасящее при больших» трение порождает устойчивые автоколебания с амплитудой, не зависящей от начальных условий^[1].

Начало координат — единственное положение равновесия; при ${\displaystyle 0<\mu <2}$ это неустойчивый фокус, при ${\displaystyle \mu =2}$ — вырожденный неустойчивый узел, при ${\displaystyle \mu >2}$ — неустойчивый узел (собственные значения линеаризованной системы ${\textstyle \lambda _{1,2}=(\mu \pm {\sqrt {\mu ^{2}-4}})/2}$ положительны). Правая часть системы удовлетворяет условиям теоремы Пикара — Линделёфа, поэтому задача Коши имеет единственное решение; уравнение инвариантно относительно замены ${\displaystyle (x,v)\mapsto (-x,-v)}$^[16].

Главное свойство осциллятора Ван дер Поля установил Альфред Льевнар: уравнение относится к классу уравнений Льевнара

${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x){\dot {x}}+x=0,\qquad F(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds,}$

для которых при определённых условиях на ${\displaystyle F}$ существует единственный устойчивый предельный цикл, притягивающий все траектории, кроме положения равновесия; для уравнения Ван дер Поля эти условия выполнены при любом ${\displaystyle \mu >0}$^[3][4]. Фазовый портрет при ${\displaystyle \mu =1}$ показан на рисунке: траектории, стартующие внутри и снаружи цикла, наматываются на него; тем самым любая начальная амплитуда устанавливается равной амплитуде цикла. Это свойство — математическое выражение автоколебаний: система «сама» выбирает амплитуду и период, не зависящие от начальных условий^[1][17].

При малых ${\displaystyle \mu }$ форма цикла близка к окружности радиуса 2. Методом усреднения (эквивалентным гармоническому балансу) для амплитуды ${\displaystyle A(t)}$ получается уравнение

${\displaystyle {\dot {A}}={\frac {\mu }{2}}A\left(1-{\frac {A^{2}}{4}}\right),}$

с устойчивым положением равновесия ${\displaystyle A=2}$ и неустойчивым ${\displaystyle A=0}$: колебания с малой начальной амплитудой раскачиваются, с большой — затухают до установившегося значения ${\displaystyle A=2}$^[1]. Период при этом стремится к ${\displaystyle 2\pi }$ с поправкой порядка ${\displaystyle \mu ^{2}}$^[10].

При ${\displaystyle \mu \gg 1}$ характер колебаний меняется: решение ${\displaystyle x(t)}$ состоит из медленных фаз, на которых система «ползёт» вдоль так называемой кривой медленных движений, и быстрых скачков между её ветвями. Такие колебания Ван дер Поль назвал релаксационными: период определяется в основном временем медленного «заряда резервуара» (в исходной электрической цепи — RC-цепи), а не временем обмена энергией, как в близком к консервативному осцилляторе^[7][1].

Наглядно эта структура видна на плоскости Льевнара: после замены переменной ${\textstyle y={\dot {x}}-\mu \,(x-x^{3}/3)}$ уравнение принимает вид

${\displaystyle {\dot {x}}=y+\mu \left(x-{\frac {x^{3}}{3}}\right),\qquad {\dot {y}}=-x,}$

где кривая медленных движений ${\textstyle y=\mu \,(x^{3}/3-x)}$ — кубическая. При ${\displaystyle \mu \gg 1}$ система является сингулярно возмущённой: быстрые движения происходят почти горизонтально, медленные — вдоль кубической кривой; математическая теория таких колебаний построена в монографии Мищенко и Розова^[18]. Асимптотику периода при больших ${\displaystyle \mu }$ нашёл А. А. Дородницын:

${\displaystyle T=(3-2\ln 2)\,\mu +O(\mu ^{-1/3})\approx 1{,}61\,\mu }$^[10].

При внешнем периодическом воздействии

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=F\cos \omega t}$

осциллятор демонстрирует захватывание (синхронизацию) частоты — установление колебаний, период которых кратен периоду воздействия; Ван дер Поль и Я. ван дер Марк наблюдали в ламповой схеме деление частоты в целое число раз и, при некоторых настройках, «нерегулярный шум», не поддававшийся тогдашней теории^[8]. Строгое исследование вынужденного уравнения при большом ${\displaystyle \mu }$ предприняли Мэри Картрайт и Джон Литтлвуд в 1945 году, обнаружив неожиданно сложное поведение решений^[5]; Норман Левинсон построил более простую модель с теми же эффектами, содержащую, как позднее показал Стивен Смейл, зачаток знаменитой подковы Смейла — одного из основных механизмов детерминированного хаоса^[12][4]. Работы Картрайт и Литтлвуда, выполненные в связи с задачами радиолокации военного времени, считаются одним из первых строгих свидетельств возможности хаотического поведения в детерминированных системах^[4].

Помимо классической автономной формы, модель Ван дер Поля имеет несколько важных обобщений, актуальных для современных исследований:

• Связанные осцилляторы. Система двух и более связанных осцилляторов Ван дер Поля служит хрестоматийным примером для изучения взаимной синхронизации (возникновение синфазных и противофазных режимов). В нейробиологии такие сети (генераторы центральных паттернов, CPG) используются для моделирования ритмичных движений (ходьба, дыхание, жевание), а в робототехнике — для управления шагающими роботами без использования сложных алгоритмов обратного связи^[19].
• Стохастический осциллятор. Добавление случайного шума (аддитивного или мультипликативного) к уравнению приводит к фазовой диффузии предельного цикла и явлению стохастического резонанса. Это необходимо для адекватного описания реальных физических и биологических систем, подверженных тепловым или квантовым флуктуациям^[20].
• Дробный осциллятор. Обобщение модели на случай дробных производных по времени (${\displaystyle D^{\alpha }x}$) позволяет описывать системы с «памятью» и вязкоупругие среды, где классическое вязкое трение недостаточно точно отражает диссипацию энергии^[21].
• Квантовый осциллятор. В современной квантовой оптике и квантовой термодинамике активно изучается квантовая версия модели, описываемая мастер-уравнением Линдблада. Она является ключевым объектом для исследования квантовой синхронизации кубитов и работы квантовых тепловых машин^[22].

1. Отсутствие нелинейности (${\displaystyle \mu =0}$). Уравнение превращается в гармонический осциллятор ${\displaystyle {\ddot {x}}+x=0}$ с периодом ${\displaystyle 2\pi \approx 6{,}283}$; амплитуда сохраняется.
2. Слабая нелинейность (${\displaystyle \mu =0{,}1}$). Начав с ${\displaystyle x(0)=0{,}2}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$, решение плавно раскачивается до амплитуды ${\displaystyle A\approx 2}$ и далее совершает почти синусоидальные колебания с периодом ${\displaystyle T\approx 6{,}29\approx 2\pi }$; установившееся решение близко к ${\displaystyle x(t)\approx 2\cos t}$.
3. Промежуточный случай (${\displaystyle \mu =1}$). На предельном цикле ${\displaystyle \max |x|\approx 2{,}01}$, ${\displaystyle \max |{\dot {x}}|\approx 2{,}68}$, период ${\displaystyle T\approx 6{,}66}$; форма колебаний уже заметно отличается от синусоиды.
4. Сильная нелинейность (${\displaystyle \mu =10}$). Колебания релаксационные: ${\displaystyle x(t)}$ подолгу держится вблизи ${\displaystyle x\approx \pm 2}$ (медленные фазы чередуются со скачками); численный период ${\displaystyle T\approx 19{,}1}$ против ${\displaystyle 1{,}61\mu =16{,}1}$ по главной асимптотике — сходимость к ней медленная (поправки имеют порядок ${\displaystyle \mu ^{-1/3}}$^[10]).
5. Гармонический баланс. Ища решение в виде ${\displaystyle x=A\cos t}$ и усредняя поток энергии за период, получаем уравнение для амплитуды ${\displaystyle {\dot {A}}={\tfrac {\mu }{2}}A(1-A^{2}/4)}$; его устойчивая точка ${\displaystyle A=2}$ даёт установившуюся амплитуду — приём, обобщаемый методом усреднения Крылова — Боголюбова^[1].
6. Вынужденная синхронизация. При ${\displaystyle \mu =1}$, ${\displaystyle F=1}$ и ${\displaystyle \omega }$, близком к единице, система захватывается внешней силой: устанавливается периодический режим с периодом воздействия; при расстройке возникают биения^[13].

• Радиотехника и электроника. Генераторы гармонических и релаксационных колебаний, схемы с электронными лампами и транзисторами; нелинейное демпфирование вида ${\displaystyle \mu (1-x^{2})}$ — простейшая модель усилителя с насыщением^[6][11].
• Биофизика и физиология. Модели сердечного ритма (первая электрическая модель сердца — связка релаксационных генераторов Ван дер Поля и ван дер Марка), генерации нейронов — модель Фицхью — Нагумо есть «очищенное» уравнение Ван дер Поля с дополнительной медленной переменной^{[9][14][15][23]}.
• Теория синхронизации. Связанные и вынужденные осцилляторы Ван дер Поля — стандартный объект изучения захвата частоты и фазы, фазовых уравнений и коллективной динамики ансамблей осцилляторов^[13].
• Теория хаоса. Вынужденное уравнение Ван дер Поля — исторически первая система со строго доказанным сложным поведением; отправная точка работ Картрайт — Литтлвуда и Левинсона, приведших к подкове Смейла^[5][12][24].
• Вычислительная математика. Жёсткая версия уравнения (при ${\displaystyle \mu \gg 1}$) — классический тест для численных решателей жёстких систем. Из-за резких скачков явные методы (например, классический Рунге-Кутта 4-го порядка) требуют экстремально малого шага интегрирования. На практике применяются неявные методы (Гира, BDF) или методы геометрического интегрирования, учитывающие разделение временных масштабов^[25].
• Механика. Фрикционные автоколебания (скрип, дрожание тормозов, флаттер) качественно описываются системами ван-дер-полевского типа с отрицательным трением при малых скоростях^[11][26].