Метод медленно меняющихся амплитуд

Рассмотрим уравнение электромагнитной волны:

${\displaystyle \nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0,}$

где k₀ и ω₀ волновой вектор и угловая частота волны E(r,t), и используем следующее представление:

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0}\,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],}$

где ${\displaystyle \scriptstyle \Re [\cdot ]}$ обозначает вещественную часть.

В приближении медленно меняющейся амплитуды предполагается, что комплексная амплитуда E₀(r, t) меняется медленно в зависимости от r и t. Это также предполагает, что E₀(r, t) представляет волну, распространяющуюся вперед в направлении k₀. В результате медленного изменения E₀(r, t), производными высокого порядка можно пренебречь:^[7]

${\displaystyle \displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|}$   и   ${\displaystyle \displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,}$   ,  ${\displaystyle k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.}$

После применения приближения и обнуления высших производных волновое уравнение запишется как :

${\displaystyle 2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.}$

С учетом того, что k₀ и ω₀ удовлетворяют дисперсионному соотношению:

${\displaystyle k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,}$

получаем:

${\displaystyle \mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0.}$

Это гиперболическое уравнение, как и исходное волновое уравнение, но теперь первого, а не второго порядка. Оно верно для когерентных распространяющихся в близких к направлению k₀ волн. Часто такое уравнение решить значительно проще, чем исходное.

Рассмотрим распространение вдоль направления z, то есть k₀||z.Тогда метод применяется только к производным по координате z и по времени. Если ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}}$ — оператор Лапласа в плоскости x-y, получим в результате:

${\displaystyle k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.}$

Это параболическое уравнение, поэтому приближение называется также параболическим приближением^[8].