Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

Пусть

${\displaystyle y'=f_{t}(y)}$

обыкновенное дифференциальное уравнение, ${\displaystyle y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f_{t}(y)}$ — векторное поле зависящее от времени ${\displaystyle t}$. Предположим, что

• отображение ${\displaystyle (t,y)\mapsto f_{t}(y)}$ непрерывно и
• для любого фиксированного ${\displaystyle t}$, отображение ${\displaystyle y\mapsto f_{t}(y)}$ липшицево

Тогда для любого ${\displaystyle y_{0}}$ существует ε > 0, такое, что на промежутке ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$ существует решение уравнения с начальными данными ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$

Верна также локальная версия теоремы.