W-функция Ламберта

Обозначается ${\displaystyle W(x)}$ или ${\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)}$. Для любого комплексного ${\displaystyle z}$ она определяется функциональным уравнением:

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}$

${\displaystyle W}$-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

• Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.
• Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках.
• Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
• Инъекция (инъективное отображение) в математике — отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle f\colon X\to Y}$), при котором разные элементы множества ${\displaystyle X}$ переводятся в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}$.
• Многозначная функция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента.
• Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
• Постоянная омега — математическая константа, определяемая как единственное Вещественное число, которое удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$.
• Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
• Дельта-функция (или дельта-мера, δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»^[1].

Поскольку функция ${\displaystyle f(w)}$ не является инъективной на интервале ${\displaystyle (-\infty ,0)}$, ${\displaystyle W(z)}$ является многозначной функцией на ${\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}$.

• Если ограничиться вещественными ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$ и потребовать ${\displaystyle w\geqslant -1}$, будет определена однозначная функция ${\displaystyle W_{0}(x)}$ — основная ветвь функции ${\displaystyle W(x)}$.
• Если ограничиться вещественными ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$, ${\displaystyle z=x<0}$ и потребовать ${\displaystyle w\leqslant -1}$, будет определена однозначная функция ${\displaystyle W_{-1}(x)}$ — дополнительная ветвь функции ${\displaystyle W(x)}$.

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов:

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to \infty }=\log(z)-\log(\log(z))}$

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to -{\frac {1}{e}}}={\sqrt {2(ez+1)}}-1}$.

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\operatorname {ctg} ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}$

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при ${\displaystyle z\neq -{\tfrac {1}{e}}}$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

${\displaystyle {dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.}$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{e}}}$:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

${\displaystyle \int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример 1: ${\displaystyle x\cdot a^{x}=b}$

${\displaystyle x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a}$, следовательно, ${\displaystyle x\ln a=W(b\ln a)}$, откуда ${\displaystyle x={W(b\ln a) \over \ln a}}$.

Пример 2: ${\displaystyle x^{x}=a}$

${\displaystyle \ln x\cdot e^{\ln x}=\ln a}$, следовательно, ${\displaystyle \ln x=W(\ln a)}$, откуда ${\displaystyle x=e^{W(\ln a)}}$.

Пример 3: ${\displaystyle a^{x}=bx}$

${\displaystyle {1 \over b}=xa^{-x}}$, тогда ${\displaystyle -{\ln a \over b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}}$, следовательно, ${\displaystyle W\left(-{\ln a \over b}\right)=-x\ln a}$, откуда ${\displaystyle x=-{1 \over \ln a}W\left(-{\ln a \over b}\right)}$.

${\displaystyle W}$-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения^[1]:

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
        if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
    if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
        raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу^[9]:

${\displaystyle W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{,}04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix}}\right.}$.

1. Метод Ньютона (метод касательных)

Это самый популярный способ вычисления. Функцию ${\displaystyle f(w)=we^{w}-z}$ удобно использовать для итерационного приближения корня:

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}-{\frac {w_{n}e^{w_{n}}-z}{e^{w_{n}}(w_{n}+1)}}}$ .

Модификация (Халей): Для более быстрой сходимости часто применяется дробно-рациональная аппроксимация (метод Халея):

${\displaystyle w_{n+1}=w_{n}-{\frac {w_{n}e^{w_{n}}-z}{e^{w_{n}}(w_{n}+1)-{\frac {(w_{n}+2)(w_{n}e^{w_{n}}-z)}{2w_{n}+2}}}}}$ .

2. Итерации с обратной экспонентой

Для ${\displaystyle W_{0}}$ (главной ветви) при больших положительных ${\displaystyle z}$ удобна рекуррентная формула:

${\displaystyle w_{n+1}=\ln \left({\frac {z}{w_{n}}}\right)}$ .

Для ветви ${\displaystyle W_{-1}}$ в окрестности нуля часто используют асимптотическое разложение как начальное приближение.

3. Метод половинного деления (дихотомии)

Если ищется вещественное значение, область определения можно ограничить и использовать дихотомию, метод секущих или метод Брента, что гарантирует сходимость без вычисления производных, хоть и медленнее, чем метод Ньютона^[10].