Функции Скорера

Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, представляющие собой общие решения дифференциального уравнения:

${\displaystyle y''-xy={\frac {1}{\pi }}}$

Введены Р. Скорером в 1950 году^[1].

Интегральное выражение функций Скорера:

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt}$

${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt}$

Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$