Интегралы Френеля

Интегралы Френеля могут быть представлены в виде рядов^[2]:

${\displaystyle C(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!(4k+1)}}}$; ${\displaystyle S(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!(4k+3)}}}$.

Кривая с параметрическими уравнениями ${\displaystyle \xi =C(t,\alpha )}$, ${\displaystyle \eta =S(t,\alpha )}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$ при фиксированном ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ имеет форму спирали. При ${\displaystyle \alpha ={1 \over 2}}$ она сводится к спирали Корню. Эта спираль имеет простое «натуральное уравнение» ${\displaystyle \rho =(\alpha s)^{1-1/\alpha }}$, где ${\displaystyle \rho }$ — радиус кривизны, ${\displaystyle s}$ — длина дуги^[3].

В прямоугольной системе координат ${\displaystyle (x,y)}$ проекциями на координатные плоскости кривой ${\displaystyle x=t}$, ${\displaystyle y=C\left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)}$, ${\displaystyle z=S\left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)}$, где ${\displaystyle t}$ — действительный параметр, являются спираль Корню и кривые ${\displaystyle y=C\left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)}$ и ${\displaystyle z=S\left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)}$^[2].

• ${\displaystyle S(x)}$ и ${\displaystyle C(x)}$ — нечётные функции ${\displaystyle x}$.

• Асимптотическое представление интегралов Френеля при больших ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle C(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\sin {x^{2}}+O\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$; ${\displaystyle S(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\cos {x^{2}}+O\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$^[2].

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как:

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$,

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$.

Обобщёнными интегралами Френеля называются функции вида:

${\displaystyle C(x,\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\cos t\,dt}$; ${\displaystyle S(x,\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\sin t\,dt}$.

Интегралы Френеля связаны с обобщёнными интегралами Френеля следующим образом:

${\displaystyle C(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}C\left(x,{\frac {1}{2}}\right)}$; ${\displaystyle S(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}S\left(x,{\frac {1}{2}}\right)}$^[2].

Рассмотрим вспомогательную функцию ${\displaystyle f(z)=e^{iz^{2}}}$ и контур ${\displaystyle \Gamma }$, указанный на рисунке (${\displaystyle OA=OB=r}$, ${\displaystyle \angle AOB=\pi /4}$).

Контур ${\displaystyle \Gamma }$

Внутри контура ${\displaystyle \Gamma }$ функция ${\displaystyle f(z)}$ — аналитическая, и по теореме Коши ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }e^{iz^{2}}\,dz=\int \limits _{OA}e^{ix^{2}}\,dx+\int \limits _{\gamma r}e^{iz^{2}}\,dz+\int \limits _{BO}e^{iz^{2}}\,dz=0}$. (1)

Предел ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int \limits _{\gamma r}e^{iz^{2}}\,dz=0}$.

На отрезке ${\displaystyle BO}$: ${\displaystyle z=\rho e^{i\pi /4}}$, ${\displaystyle z^{2}=\rho ^{2}e^{i\pi /2}=\rho ^{2}i}$, ${\displaystyle 0\leqslant \rho \leqslant r}$. Отсюда ${\displaystyle \int \limits _{BO}e^{iz^{2}}\,dz=-e^{i\pi /4}\int \limits _{0}^{r}e^{-\rho ^{2}}d\rho }$.

Переходя в формуле (1) к пределу при ${\displaystyle r\to \infty }$: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{ix^{2}}\,dx=e^{i\pi /4}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho ^{2}}d\rho }$.

Зная, что ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho ^{2}}d\rho ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$, имеем ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\cos x^{2}\,dx+i\int \limits _{0}^{\infty }\sin x^{2}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$.

Откуда${\displaystyle \lim _{x\to \infty }C(x)=\lim _{x\to \infty }S(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$^[1].

Интегралы Френеля хорошо изучены и имеют большое значение при решении многих дифракционных задач в оптике^[4]. Методы применения интегралов Френеля широко известны и детально описаны в большинстве учебников по оптике. Типичные полосы Френеля, получающиеся при дифракции от прямого края, хорошо известны как для световой, так и для электронной оптики и применяются для дополнительной фокусировки в электронной микроскопии^[5].