Квантовый дилогарифм

Квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой

${\displaystyle \phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1}$

В терминах q-экспоненты имеем ${\displaystyle \phi (x)=E_{q}(x)}$ .

Пусть ${\displaystyle u,v}$ — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля ${\displaystyle uv=qvu}$^[1]. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже^[2]

${\displaystyle \phi (u)\phi (v)=\phi (u+v)}$

тождеству Фаддеева — Волкова^[3]

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu)}$

и тождеству Фаддеева — Кашаева^[4]

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v)}$

Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.

Квантовый дилогарифм Фаддеева ${\displaystyle \Phi _{b}(w)}$ определяется следующей формулой:

${\displaystyle \Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\operatorname {sh} (wb)\operatorname {sh} (w/b)}}{\frac {\operatorname {d} \!w}{w}}\right)}$,

где контур интегрирования ${\displaystyle C}$ обходит сингулярность при t = 0 сверху^[5]. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича

${\displaystyle \Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\operatorname {d} \!t\right).}$

Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество

${\displaystyle \Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}})}$

где ${\displaystyle {\hat {p}}}$ и ${\displaystyle {\hat {q}}}$ — самосопряжённые (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга

${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}},}$

и обратное отношение

${\displaystyle \Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.}$

Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, квантовой топологии и теории кластерных алгебр.

Точная связь между q-показательной функцией и ${\displaystyle \Phi _{b}}$ выражается тождеством

${\displaystyle \Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}}}$,

которое выполняется при Im ${\displaystyle b^{2}>0}$.