Омега-функция Райта

Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln(z), поскольку единственным решением является z = е^{−ω(π i)}.

y = ω(z) — единственное решение при ${\displaystyle z\neq x\pm i\pi }$, х ≤ −1 уравнения y + ln(y) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта является непрерывной, даже аналитической.

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению ${\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}$ ,

Она также удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}$

везде, где ω является аналитической (это можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение ${\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}$ ) и, как следствие, его интеграл может быть выражен как:

${\displaystyle \int w^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}}$

Его ряд Тейлора вокруг точки ${\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}$ принимает форму:

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}}$

где

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

в котором

${\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}$

— эйлерово число второго порядка.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}$

Plots of the Wright Omega function on the complex plane