Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ — произвольные положительные вещественные числа. Тогда выполняется цепочка неравенств:

${\displaystyle \mathrm {HM} \;\leqslant \;\mathrm {GM} \;\leqslant \;\mathrm {AM} ,}$

или в развёрнутом виде:

${\displaystyle {\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}\;\leqslant \;\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\!1/n}\;\leqslant \;{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i},}$

причём равенство в каждом из двух неравенств достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой:

${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}.}$

Название	Обозначение	Формула
Среднее арифметическое	${\displaystyle \mathrm {AM} }$	${\displaystyle \displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$
Среднее геометрическое	${\displaystyle \mathrm {GM} }$	${\displaystyle \displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}=\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}}$
Среднее гармоническое	${\displaystyle \mathrm {HM} }$	${\displaystyle \displaystyle H={\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+{\dfrac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}}$

Условие положительности существенно для всей цепочки ${\displaystyle H\leqslant G\leqslant A}$:

• если хотя бы одно ${\displaystyle a_{i}=0}$, то сумма ${\displaystyle \sum {\frac {1}{a_{i}}}}$ расходится, и гармоническое среднее полагают равным нулю (или считают неопределённым в зависимости от контекста);
• гармоническое среднее определено только при строго положительных ${\displaystyle a_{i}}$; если хотя бы одно ${\displaystyle a_{i}=0}$, то ${\displaystyle H}$ не определено (знаменатель обращается в бесконечность);
• при ${\displaystyle a_{i}>0}$ для всех ${\displaystyle i}$ равенство ${\displaystyle H=G=A}$ достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

Для двух положительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ неравенство принимает наглядную форму:

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}\;\leqslant \;{\sqrt {ab}}\;\leqslant \;{\frac {a+b}{2}}.}$

Рассмотрим полуокружность с диаметром ${\displaystyle a+b}$. Пусть точка на диаметре делит его на отрезки длин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Тогда:

• Среднее арифметическое ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ равно радиусу полуокружности.
• Среднее геометрическое ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки деления диаметра до пересечения с полуокружностью (теорема о среднем геометрическом)^[2].
• Среднее гармоническое ${\displaystyle {\tfrac {2ab}{a+b}}}$ равно проекции этого перпендикуляра на радиус полуокружности, проведённый к его верхней точке^[2].

Неравенство ${\displaystyle H\leqslant G\leqslant A}$ геометрически означает, что перпендикуляр из внутренней точки диаметра к окружности не превосходит радиуса, а его проекция на радиус не превосходит самого перпендикуляра.

Существует множество доказательств неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Ниже приведены наиболее известные.

Этот метод был предложен Огюстеном Луи Коши в его курсе анализа^[3]. Доказательство состоит из двух шагов.

• Шаг 1 (прямой). Доказывается, что неравенство верно для ${\displaystyle n=2^{k}}$ (степень двойки) индукцией по ${\displaystyle k}$.

База: при ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geqslant {\sqrt {a_{1}a_{2}}}\;\Longleftrightarrow \;(a_{1}+a_{2})^{2}\geqslant 4a_{1}a_{2}\;\Longleftrightarrow \;(a_{1}-a_{2})^{2}\geqslant 0.}$

Последнее очевидно, причём равенство достигается при ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$.

Переход: если неравенство верно для ${\displaystyle n=2^{k}}$ чисел, то для ${\displaystyle 2n=2^{k+1}}$ чисел ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{2n}}$:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}={\frac {1}{2}}\!\left({\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\frac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}\right)\geqslant {\frac {1}{2}}\!\left(G_{1}+G_{2}\right)\geqslant {\sqrt {G_{1}G_{2}}},}$

где ${\displaystyle G_{1}=(a_{1}\cdots a_{n})^{1/n}}$, ${\displaystyle G_{2}=(a_{n+1}\cdots a_{2n})^{1/n}}$, и применены предположение индукции и база.

• Шаг 2 (обратный). Показывается, что если неравенство верно для ${\displaystyle n}$ чисел, то оно верно и для ${\displaystyle n-1}$ чисел. Пусть заданы ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n-1}>0}$. Положим ${\displaystyle a_{n}=A_{n-1}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n-1}}{n-1}}}$. Тогда:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n-1}+A_{n-1}}{n}}=A_{n-1}.}$

По предположению для ${\displaystyle n}$ чисел:

${\displaystyle A_{n-1}\geqslant (a_{1}\cdots a_{n-1}\cdot A_{n-1})^{1/n},}$

${\displaystyle A_{n-1}^{n}\geqslant a_{1}\cdots a_{n-1}\cdot A_{n-1},}$

${\displaystyle A_{n-1}^{n-1}\geqslant a_{1}\cdots a_{n-1},}$

что и требовалось. Комбинируя оба шага, получаем доказательство для всех натуральных ${\displaystyle n}$^[4].

Поскольку функция ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ является вогнутой на ${\displaystyle (0,+\infty )}$, по неравенству Йенсена^[5]:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\;\leqslant \;\ln \!\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right).}$

Левая часть равна ${\displaystyle \ln G}$, правая — ${\displaystyle \ln A}$. Поскольку логарифм — возрастающая функция:

${\displaystyle G\leqslant A.}$

Равенство в неравенстве Йенсена для строго вогнутой функции достигается тогда и только тогда, когда все аргументы совпадают, то есть при ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

Дьёрдь Полиа предложил прямое доказательство индукцией по ${\displaystyle n}$, основанное на вспомогательном неравенстве^[6]

${\displaystyle e^{t-1}\geqslant t\quad {\text{для всех }}t>0,}$

с равенством при ${\displaystyle t=1}$ (геометрически: экспонента лежит не ниже своей касательной в точке ${\displaystyle t=1}$).

Доказательство. Обозначим ${\displaystyle A={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$. Подставим ${\displaystyle t={\frac {a_{i}}{A}}}$ в указанное неравенство:

${\displaystyle e^{a_{i}/A-1}\geqslant {\frac {a_{i}}{A}},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Перемножим все ${\displaystyle n}$ неравенств:

${\displaystyle \exp \!\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{A}}-n\right)\geqslant \prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{A}}.}$

Поскольку ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{A}}={\frac {nA}{A}}=n}$, левая часть равна ${\displaystyle e^{0}=1}$. Следовательно:

${\displaystyle 1\geqslant {\frac {a_{1}\cdots a_{n}}{A^{n}}}={\frac {G^{n}}{A^{n}}},}$

откуда ${\displaystyle A\geqslant G}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все ${\displaystyle t_{i}=a_{i}/A=1}$, то есть при ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

Неравенство Шура в своём общем виде утверждает: для вещественного ${\displaystyle t>0}$ и неотрицательных ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0,}$

с равенством при ${\displaystyle x=y=z}$ или когда два из трёх чисел равны нулю^[7].

Покажем, как из неравенства Шура при ${\displaystyle t=1}$ вывести неравенство AM–GM для трёх переменных без привлечения самого AM–GM.

• Шаг 1. При ${\displaystyle t=1}$ неравенство Шура принимает вид:

${\displaystyle x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\geqslant 0.}$

Раскроем скобки и сгруппируем по элементарным симметрическим многочленам ${\displaystyle p=x+y+z}$, ${\displaystyle q=xy+yz+xz}$, ${\displaystyle r=xyz}$. Стандартное тождество даёт:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\geqslant 0.}$

Это хорошо известное алгебраическое тождество:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz={\tfrac {1}{2}}(x+y+z){\bigl [}(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}{\bigr ]}\geqslant 0,}$

которое неотрицательно при ${\displaystyle x,y,z\geqslant 0}$, поскольку каждый множитель неотрицателен.

• Шаг 2. Из полученного неравенства

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\geqslant 3xyz}$

выведем AM–GM. Заменим ${\displaystyle x=a^{1/3}}$, ${\displaystyle y=b^{1/3}}$, ${\displaystyle z=c^{1/3}}$ для произвольных ${\displaystyle a,b,c>0}$:

${\displaystyle a+b+c\geqslant 3(abc)^{1/3},}$

откуда

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\geqslant {\sqrt[{3}]{abc}},}$

что и есть неравенство AM–GM для трёх переменных. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=y=z}$, то есть при ${\displaystyle a=b=c}$^[7].

• Замечание. Ключевое тождество

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz={\tfrac {1}{2}}(x+y+z){\bigl [}(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}{\bigr ]}}$

проверяется прямым раскрытием скобок и не требует никаких предварительных неравенств, что делает всё доказательство логически замкнутым.

Неравенство ${\displaystyle G\geqslant H}$ легко сводится к неравенству ${\displaystyle A\geqslant G}$. Действительно, применим неравенство AM–GM к числам ${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{a_{i}}}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\;\geqslant \;\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\right)^{1/n}={\frac {1}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}}}={\frac {1}{G}}.}$

Следовательно:

${\displaystyle {\frac {1}{H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}\geqslant {\frac {1}{G}},}$

откуда ${\displaystyle G\geqslant H}$^[1].

Пусть ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}>0}$ — веса такие, что ${\displaystyle w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}=1}$. Тогда:

${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\dfrac {w_{i}}{a_{i}}}}}\;\leqslant \;\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{w_{i}}\;\leqslant \;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,a_{i}.}$

Это взвешенное неравенство AM–GM–HM. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}}$. Доказательство следует непосредственно из вогнутости логарифма и неравенства Йенсена для взвешенных сумм^[8]:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln a_{i}\;\leqslant \;\ln \!\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}a_{i}\right),}$

откуда потенцированием получается правое неравенство; левое доказывается применением правого к числам ${\displaystyle 1/a_{i}}$.

Неравенство AM–GM–HM является частным случаем более общего неравенства о степенных средних. Для положительных чисел ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ и действительного ${\displaystyle p}$ степенным средним порядка ${\displaystyle p}$ называется величина

${\displaystyle M_{p}=M_{p}(a_{1},\dots ,a_{n})={\begin{cases}\left({\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p},&p\neq 0,\\[10pt]\left(\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n},&p=0.\end{cases}}}$

Определение при ${\displaystyle p=0}$ понимается как предел при ${\displaystyle p\to 0}$ (который вычисляется правилом Лопиталя и действительно равен геометрическому среднему). Основное свойство состоит в следующем.

• Теорема (монотонность степенных средних). Если ${\displaystyle p<q}$, то ${\displaystyle M_{p}\leqslant M_{q}}$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$^[1].

Классические средние получаются при конкретных значениях ${\displaystyle p}$:

Значение ${\displaystyle p}$	Среднее	Обозначение
${\displaystyle p\to -\infty }$	Минимум (предельное значение: ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=\min(a_{1},\dots ,a_{n})}$)	${\displaystyle \min }$
${\displaystyle p=-1}$	Среднее гармоническое	${\displaystyle H}$
${\displaystyle p=0}$	Среднее геометрическое (предельное значение: ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}=G}$)	${\displaystyle G}$
${\displaystyle p=1}$	Среднее арифметическое	${\displaystyle A}$
${\displaystyle p=2}$	Среднее квадратическое	${\displaystyle Q}$
${\displaystyle p\to +\infty }$	Максимум (предельное значение: ${\displaystyle \lim _{p\to +\infty }M_{p}=\max(a_{1},\dots ,a_{n})}$)	${\displaystyle \max }$

Значения при ${\displaystyle p=\pm \infty }$ в таблице понимаются как пределы:

${\displaystyle \lim _{p\to +\infty }M_{p}=\max(a_{1},\dots ,a_{n}),}$

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=\min(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Докажем первый предел. Без ограничения общности пусть ${\displaystyle M=\max(a_{1},\dots ,a_{n})}$. Тогда:

${\displaystyle M=\left(M^{p}\right)^{1/p}\leqslant \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\leqslant \left(n\cdot M^{p}\right)^{1/p}=n^{1/p}\cdot M.}$

Поскольку ${\displaystyle n^{1/p}\to 1}$ при ${\displaystyle p\to +\infty }$, по теореме о сжатой переменной:

${\displaystyle \lim _{p\to +\infty }M_{p}=M=\max(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Второй предел получается заменой ${\displaystyle a_{i}\to 1/a_{i}}$ и переходом ${\displaystyle p\to -\infty }$.

Значение при ${\displaystyle p=0}$ также является предельным. Применяя правило Лопиталя к логарифму:

${\displaystyle \lim _{p\to 0}\ln M_{p}=\lim _{p\to 0}{\frac {\ln \!\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)}{p}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}=\ln G,}$

откуда ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}=G}$. Именно поэтому в определении степенного среднего при ${\displaystyle p=0}$ полагают ${\displaystyle M_{0}=G}$, обеспечивая непрерывность функции ${\displaystyle p\mapsto M_{p}}$^[1].

В 1930 году А. Н. Колмогоров предложил общую аксиоматическую конструкцию, объединяющую все классические средние^[9]. Квазиарифметическим средним (или средним Колмогорова) для набора чисел ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in I}$ называется величина

${\displaystyle M_{f}(a_{1},\dots ,a_{n})=f^{-1}\!\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(a_{i})\right),}$

где ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ — интервал, ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ — непрерывная строго монотонная функция, а ${\displaystyle f^{-1}}$ — её обратная функция. При различных выборах ${\displaystyle f}$ получаются^[1]:

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Среднее
${\displaystyle f(x)=x}$	Среднее арифметическое ${\displaystyle A}$
${\displaystyle f(x)=\ln x}$	Среднее геометрическое ${\displaystyle G}$
${\displaystyle f(x)=1/x}$	Среднее гармоническое ${\displaystyle H}$
${\displaystyle f(x)=x^{p},\;p\neq 0}$	Среднее степенное ${\displaystyle M_{p}}$
${\displaystyle f(x)=e^{x}}$	Экспоненциальное среднее (применяется в статистической физике и теории информации)

Квазиарифметические средние обладают рядом общих свойств: симметрия по аргументам, монотонность, непрерывность, нахождение между минимумом и максимумом набора. Условие, при котором одно квазиарифметическое среднее не превосходит другого, связано с соотношением выпуклости между функциями ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle M_{f}\leqslant M_{g}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle g\circ f^{-1}}$ является выпуклой функцией^[1]. В частности, из выпуклости ${\displaystyle e^{x}}$ как функции от ${\displaystyle x=\ln t}$ следует ${\displaystyle G\leqslant A}$; аналогично получается ${\displaystyle H\leqslant G}$.

Неравенство Маклорена устанавливает соотношение между элементарными симметрическими средними и даёт уточнение неравенства AM–GM. Для положительных чисел ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ обозначим через ${\displaystyle e_{k}}$ их элементарный симметрический многочлен степени ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle e_{k}=\sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}},}$

и положим ${\displaystyle S_{k}={\dfrac {e_{k}}{\dbinom {n}{k}}}}$. Тогда^[10]:

${\displaystyle S_{1}^{1/1}\geqslant S_{2}^{1/2}\geqslant \cdots \geqslant S_{n}^{1/n},}$

причём ${\displaystyle S_{1}=A}$ и ${\displaystyle S_{n}^{1/n}=G}$. Крайние члены этой цепочки и дают неравенство AM–GM, а промежуточные члены предоставляют ${\displaystyle n-2}$ дополнительных оценок.

Неравенство AM–GM–HM тесно связано с рядом других фундаментальных неравенств.

• Неравенство Коши — Буняковского — Шварца: для двух наборов положительных чисел ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$ неравенство

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)}$

может быть выведено из AM–GM подстановкой ${\displaystyle a_{i}^{2}/\lambda }$ и ${\displaystyle \lambda b_{i}^{2}}$ с оптимальным выбором ${\displaystyle \lambda }$^[4].

• Неравенство Йенсена: неравенство AM–GM является частным случаем неравенства Йенсена для вогнутой функции ${\displaystyle \ln x}$^[5]. Обратно, из AM–GM можно вывести неравенство Йенсена для функций с рациональными значениями весов, а затем предельным переходом — в общем случае.

• Неравенство Юнга: для ${\displaystyle p,q>1}$ с ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ и ${\displaystyle a,b\geqslant 0}$:

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

Это взвешенное AM–GM для двух чисел ${\displaystyle a^{p}}$ и ${\displaystyle b^{q}}$ с весами ${\displaystyle 1/p}$ и ${\displaystyle 1/q}$^[11].

• Изопериметрическое неравенство: среди всех фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет окружность; среди всех многоугольников с заданным числом сторон и заданным периметром — правильный многоугольник. Доказательство для многоугольников опирается на AM–GM (или на неравенство о среднем геометрическом применительно к площадям треугольников)^[12].

• Неравенство Бернулли: для ${\displaystyle x>-1}$

и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx.}$

Выведем его из AM–GM. Рассмотрим набор из ${\displaystyle n}$ чисел, среди которых ${\displaystyle (n-1)}$ единиц и одно число ${\displaystyle (1+nx)}$:

${\displaystyle \underbrace {1,\,1,\,\ldots ,\,1} _{n-1},\quad 1+nx.}$

По неравенству AM–GM:

${\displaystyle {\frac {\overbrace {1+\cdots +1} ^{n-1}+(1+nx)}{n}}\;\geqslant \;{\sqrt[{n}]{\underbrace {1\cdots 1} _{n-1}\cdot (1+nx)}},}$

то есть:

${\displaystyle {\frac {(n-1)+(1+nx)}{n}}\;\geqslant \;(1+nx)^{1/n},}$

${\displaystyle 1+x\;\geqslant \;(1+nx)^{1/n}.}$

Возводя обе части в степень ${\displaystyle n}$ (обе части положительны при ${\displaystyle x>-1/n}$):

${\displaystyle (1+x)^{n}\;\geqslant \;1+nx.}$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда все числа в наборе совпадают, то есть при ${\displaystyle 1=1+nx}$, откуда ${\displaystyle x=0}$.

• Замечание. Приведённый вывод работает при

${\displaystyle x>-1/n}$, что обеспечивает положительность ${\displaystyle 1+nx}$, необходимую для применения AM–GM. Случай ${\displaystyle -1<x\leqslant -1/n}$ при натуральном ${\displaystyle n\geqslant 2}$ проверяется отдельно: левая часть ${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 0}$, тогда как правая ${\displaystyle 1+nx\leqslant 0}$, поэтому неравенство выполняется автоматически^[7].