Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Для действительных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$:

• среднее арифметическое выражается формулой ${\displaystyle {\overline {X}}_{A}={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}}$;
• среднее геометрическое выражается формулой ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{геом}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}}$;
• среднее гармоническое выражается формулой ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{гарм}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$^[1].

Среднее гармоническое и среднее геометрическое относятся к так называемым степенным средним. Среднее степенное ${\displaystyle k}$-го порядка определяется при помощи формулы ${\displaystyle {\overline {X}}_{k}={\Biggl (}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}{n}}{\Biggr )}^{1 \over k}}$. Среднее арифметическое является степенным средним порядка ${\displaystyle 1}$, среднее гармоническое можно считать степенным средним порядка ${\displaystyle -1}$. Если под средним степенным нулевого порядка понимать ${\displaystyle \lim _{k\to 0}{\overline {X}}_{k}}$, то среднее геометрическое является степенным средним нулевого порядка^[2].

Среднее степенное второго порядка называют средним квадратичным. Среднее квадратичное выражается формулой ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{квад}}={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$.

Для средних величин ${\displaystyle {\overline {X}}_{A},{\overline {X}}_{\text{геом}},{\overline {X}}_{\text{гарм}},{\overline {X}}_{\text{квад}}}$ положительных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ справедливы неравенства ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{гарм}}\leqslant {\overline {X}}_{\text{геом}}\leqslant {\overline {X}}_{A}\leqslant {\overline {X}}_{\text{квад}}}$.

Причём в каждом звене этой цепочки равенство имеет место только при ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}}$^[3].

Неравенство о средних утверждает, что для любых ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

${\displaystyle A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная ${\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ по ${\displaystyle d}$ неотрицательна и обращается в ноль только при ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

В статистике между средними величинами существует правило мажорантности. Опираясь на формулу среднего степенного ${\displaystyle k}$-го порядка ${\displaystyle {\overline {X}}_{k}={\Biggl (}{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}{n}}{\Biggr )}^{1 \over k}}$, правило формулируется так^[4]:

Для одних и тех же статистических данных чем больше показатель степени ${\displaystyle k}$, тем больше и сама средняя величина: ${\displaystyle {\overline {X}}_{k=-1}<{\overline {X}}_{k=0}<{\overline {X}}_{k=1}<{\overline {X}}_{k=2}<{\overline {X}}_{k=3}<...}$.

Поскольку среднее арифметическое является степенным средним порядка ${\displaystyle 1}$, среднее гармоническое — порядка ${\displaystyle -1}$, а среднее геометрическое — нулевого порядка, то выполняются неравенства ${\displaystyle {\overline {X}}_{\text{гарм}}<{\overline {X}}_{\text{геом}}<{\overline {X}}_{A}}$.

Неравенство ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}}$ является частным случаем неравенства о средних.

Количество доказательств этого неравенства сравнимо с количеством доказательств теоремы Пифагора. Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу впервые в 1821 году^[5].

Пусть даны два отрезка длины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Построим окружность диаметром ${\displaystyle a+b}$ (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку ${\displaystyle M}$ на расстоянии ${\displaystyle a}$. Проведём через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечёт окружность в двух точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C_{1}}$. Рассмотрим полученную хорду. Треугольник ${\displaystyle ABC}$ — прямоугольный, так как угол ${\displaystyle C}$ — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, ${\displaystyle CM}$ — высота треугольника ${\displaystyle ABC}$, а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, ${\displaystyle CM={\sqrt {ab}}}$. Аналогично, из треугольника ${\displaystyle ABC_{1}}$ получаем, что ${\displaystyle C_{1}M={\sqrt {ab}}}$, поэтому ${\displaystyle CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab}}}$. Так как ${\displaystyle CC_{1}}$ — хорда окружности с диаметром ${\displaystyle a+b}$, а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что ${\displaystyle 2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b}$, или же ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}}$. Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при ${\displaystyle a=b}$.

Алгебраическое доказательство может быть построено следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(a-b)^{2}\geqslant 0}$.

Достаточно положить ${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}}$, а также ${\displaystyle \alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}}$. Нетрудно видеть, в силу доказанного, что

${\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{2}}\geqslant {\sqrt {\alpha \beta }}\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '}}\;\Leftrightarrow \;{\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}}$.

Очевидно, переход от 2 к 4 по индукции влечёт за собой справедливость неравенства для ${\displaystyle N=2^{k}}$, причём для интересующего нас ${\displaystyle n}$ найдётся ${\displaystyle k:N\geqslant n}$. Полагая неравенство верным для ${\displaystyle N}$, докажем его справедливость для ${\displaystyle N-1}$. Для этого достаточно положить ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}$, тогда

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}}}\;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}\;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}$.

По принципу индукции приведённое доказательство верно также и для ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$.

Поделим обе части неравенства на ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}$ и произведём замену ${\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}}$. Тогда при условиях ${\displaystyle y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1}$ необходимо доказать, что ${\displaystyle 1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}}$(1).

Воспользуемся методом математической индукции.

Нужно доказать, что если ${\displaystyle m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}=1}$, то ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1}$. Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для ${\displaystyle n}$. Пусть ${\displaystyle y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1}}$, причём выберем из последовательности (${\displaystyle m_{i}}$) такие два члена, что ${\displaystyle m_{n}\geq 1}$, ${\displaystyle m_{n+1}\leq 1}$ (такие точно существуют, так как ${\displaystyle m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1}$). Тогда выполнены оба условия ${\displaystyle y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1}$ и предполагается доказанным неравенство ${\displaystyle y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n}$ или ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n}$. Теперь заменим ${\displaystyle m_{n}m_{n+1}}$ на ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}}$. Это возможно сделать в силу того, что ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1}$ или ${\displaystyle m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0}$, что, очевидно, выполняется, так как ${\displaystyle m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0}$. Таким образом, неравенство доказано.

В случае ${\displaystyle n}$ переменных неравенство о среднем гармоническом и среднем геометрическом имеет вид: ${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}$.

${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}\leqslant {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\Leftrightarrow {\frac {2}{\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}\right)}}\leqslant {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\Leftrightarrow 2\leqslant {\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}\right)}{\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\Leftrightarrow 2\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}}{\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}}\Leftrightarrow 2{\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\leqslant x_{1}+x_{2}\Leftrightarrow {\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$.

На последнем этапе получилось неравенство Коши, доказанное в предыдущем разделе, следовательно, доказательство неравенства о среднем гармоническом и среднем геометрическом закончено.

Среднее квадратичное — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического ${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$.