Среднее арифметико-геометрическое

Для пары положительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ составляют арифметическое среднее ${\displaystyle a_{1}}$ и геометрическое среднее ${\displaystyle g_{1}}$. Затем для пары ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle g_{1}}$ снова находят арифметическое среднее ${\displaystyle a_{2}}$ и геометрическое среднее ${\displaystyle g_{2}}$ и т.д. Общий предел последовательностей ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle g_{b}}$, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим средним чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$^[2].

Для вычисления полных эллиптических интегралов ${\displaystyle K(\alpha )}$, ${\displaystyle E(\alpha )}$ процесс нахождения арифметико-геометрического среднего начинается с тройки чисел ${\displaystyle (a_{0},b_{0},c_{0})}$ ^[3].

В 1975 году Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга пришли к использованию процесса среднего арифметико-геометрического для нахождения числа ${\displaystyle \pi }$. Алгоритм получил название Брента — Саламина.

Предварительно устанавливаются начальные значения:

${\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1}$

и задаются итерации:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}$,

Полученные значения ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ сравниваются. Когда их величины оказываются достаточно близкими, очередное приближение числа ${\displaystyle \pi }$ определяется по формуле:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$

При использовании этой схемы ${\displaystyle 25}$ итераций достаточно для получения ${\displaystyle 45}$ миллионов десятичных знаков^[4].

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — (общий) предел (убывающей) последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и (возрастающей) последовательности ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle y_{0}=y}$ и ${\displaystyle z_{0}=0}$.

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$

${\displaystyle y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n})}}}$

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса ${\displaystyle L}$ с полуосями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b)}},}$

где ${\displaystyle M(x;y)}$ — АГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle N(x;y)}$ — МАГС чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций^[5].

Если взять: ${\displaystyle a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha }$, то

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}}}$,

где ${\displaystyle K(\alpha )}$ есть полный эллиптический интеграл первого рода

${\displaystyle K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\frac {1}{2}}}d\theta }$.