Среднее Колмогорова

При выборе определённых функций ${\displaystyle \varphi }$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при ${\displaystyle \varphi (x)=x}$ — среднее арифметическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=\ln x}$ — среднее геометрическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{x}}}$ — среднее гармоническое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{2}}$ — среднее квадратическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{\alpha },\ \alpha \neq 0}$ — среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал^[1], что любая средняя величина ${\displaystyle M(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет вид ${\displaystyle (*)}$, если она обладает свойствами:

• непрерывности;
• монотонности по каждому ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$;
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов);
• среднее от набора равных чисел равно их значению;
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора;
• для выпуклых или вогнутых функций справедливо неравенство Йенсена.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое^[2][3].

Для непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ среднее Колмогорова задаётся формулой:

${\displaystyle \qquad M_{[a;b]}(f(x))=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))dx\right).}$ где ${\displaystyle \varphi }$ — непрерывная строго монотонная функция, область определения которой содержит все значения функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, а ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$— функция, обратная к ${\displaystyle \varphi }$.