Арифметический корень натуральной степени

Арифметическим корнем степени ${\displaystyle n}$ из неотрицательного числа ${\displaystyle a}$ называется неотрицательное число ${\displaystyle b}$, удовлетворяющее равенству:

${\displaystyle b^{n}=a}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (натуральное число, ${\displaystyle n\geq 2}$).

Обозначается:

${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}$.

Примеры:

• ${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$, потому что ${\displaystyle 4^{2}=16}$.
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}$, потому что ${\displaystyle 3^{3}=27}$.

• Показатель корня — натуральное число ${\displaystyle n}$, указывающее степень корня.
• Подкоренное выражение — неотрицательное число ${\displaystyle a}$, из которого извлекается корень.
• Радикал — знак корня ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\ \ }}}$. Если ${\displaystyle n=2}$, то показатель степени обычно не пишут: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$.
• Арифметический квадратный корень из числа ${\displaystyle a}$ — неотрицательное число ${\displaystyle a}$, квадрат которого равен ${\displaystyle a}$^[1].

 ${\displaystyle {\sqrt {a^{2n}}}=|a^{n}|}$, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}$, где ${\displaystyle a\geq 0}$.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}$, где ${\displaystyle a\geq 0}$, ${\displaystyle b\geq 0}$.

 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\dfrac {a}{b}}}={\dfrac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}$, где ${\displaystyle a\geq 0}$, ${\displaystyle b>0}$.

Если ${\displaystyle a_{1}>a_{2}}$, то ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}}}>{\sqrt[{n}]{a_{2}}}}$, где ${\displaystyle a_{1},a_{2}\geq 0}$ и ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$[2].

 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}}}$.

Арифметические корни используются при упрощении выражений и решении уравнений.

Разложение подкоренного выражения на множители позволяет упростить корень.

• Пример:

 ${\displaystyle {\sqrt {72}}={\sqrt {36\cdot 2}}={\sqrt {36}}\cdot {\sqrt {2}}=6{\sqrt {2}}}$.

При сложении или вычитании корней важно, чтобы показатели корней были равны.

• Пример:

 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{16}}={\sqrt {2}}+2}$, поскольку ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}={\sqrt {\sqrt {16}}}={\sqrt {4}}=2}$.

Избавление от корня в знаменателе дроби.

• Пример:

${\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {3}}}={\dfrac {\sqrt {3}}{{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}={\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$.

• Решение уравнений: нахождение неизвестного числа, возведённого в степень.

 ${\displaystyle x^{n}=a\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{a}}}$.

• Геометрия: вычисление длины стороны фигуры по площади и объёму.

Площадь квадрата: ${\displaystyle S=a^{2}\Rightarrow a={\sqrt {S}}}$.
Объём куба: ${\displaystyle V=a^{3}\Rightarrow a={\sqrt[{3}]{V}}}$.

• Физика и техника: расчёты в формулах, содержащих степень или корень.

Функция ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$, где ${\displaystyle n}$ — чётное число, определена на промежутке ${\displaystyle [0;+\infty )}$ и проходит через точки ${\displaystyle (0;0)}$ и ${\displaystyle (1;1)}$.

График функции арифметического квадратного корня

Арифметический корень натуральной степени является важным понятием в математике, позволяя проводить обратную операцию к возведению в степень. Знание его свойств и умений работать с корнями необходимо для успешного решения уравнений, неравенств и упрощения выражений в алгебре, а также для применения в геометрии и других областях.