Среднее кубическое

Если исходные данные осредняемого признака представлены в несгруппированном виде (как индивидуальные значения первичного признака у отдельных единиц совокупности), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней арифметической простой^[2]:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$, где ${\displaystyle {\overline {x}}}$ — среднее значение признака; ${\displaystyle x_{i}}$ — индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности; ${\displaystyle n}$ — число единиц совокупности.

Простое среднее записывают в виде формулы:

${\displaystyle {\overline {X}}={\sqrt[{z}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{z}}{n}}}}$, где ${\displaystyle x_{i}}$ — некоторое конкретное значение признака, ${\displaystyle z}$ — показатель степени средней ${\displaystyle (-1,0,1,2,3,...)}$.

Из общей формулы, при ${\displaystyle z=3}$ получают формулу средней кубической^[3]:

${\displaystyle {\overline {X_{k}}}={\sqrt[{3}]{\frac {\sum \limits _{i}x^{3}}{n}}}}$.

• Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}}$.

• Между средними величинами существует следующее соотношение, которое описывает правило мажорантности: для одних и тех же статистических данных чем больше показатель степени ${\displaystyle Z}$, тем больше и сама средняя величина^[3]:

${\displaystyle {\overline {X}}:{\overline {X}}_{z=-1}<{\overline {X}}_{z=0}<{\overline {X}}_{z=1}<{\overline {X}}_{z=2}<{\overline {X}}_{z=3}<...}$.

Среднее кубическое находит применение в статистике, где является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам^[4].