Вторая теорема о среднем

Втора́я теоре́ма о сре́днем значе́нии касается свойств интеграла от произведения двух функций ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$ и может быть сформулирована в разных формах.

Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении^[1].

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ на отрезке [a, b], а функция g(x) интегрируема на [a, b], то существует точка ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ такая, что: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx}$.

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$ на отрезке [a, b], а функция g(x) интегрируема на [a, b], то существует точка ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ такая, что:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx}$.

Вторая теорема о среднем значении.

Если функция f(x) монотонна (нестрого) и ограничена на отрезке [a, b], а функция g(x) интегрируема на [a, b], то существует точка ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ такая, что:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx}$^[2].