Выборочное среднее

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$.

• Пусть ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно ${\displaystyle {\overline {X}}(\omega )}$.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n}$.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

${\displaystyle {\overline {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]}$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин ${\displaystyle X_{i}}$ конечна и ненулевая, то есть ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n}$. Тогда

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\overline {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})}$ — нормальное распределение со средним ${\displaystyle 0}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

Допустим, что в результате применения психодиагностической методики для оценки некоторого психологического свойства у десяти испытуемых мы получили следующие частные показатели степени развитости данного свойства у отдельных испытуемых: х₁= 5, х₂ = 4, х₃ = 5, х₄ = 6, х₅ = 7, х₆ = 3, х₇ = 6, х₈₌ 2, х₉= 8, х₁₀ ⁼ 4. Следовательно, п = 10, а индекс k меняет свои значения от 1 до 10 в приведенной выше формуле. Для данной выборки среднее значение, вычисленное по этой формуле, будет равно:

${\displaystyle {x}={\frac {1}{10}}\sum _{k=1}^{10}x_{i}={\frac {50}{10}}=5.0}$.

В дальнейшем, как это и принято в математической статистике, с целью сокращения текста мы будем опускать слова «выборочное» и «арифметическое» и просто говорить о «среднем» или «среднем значении».

В психодиагностике и в экспериментальных психолого-педагогических исследованиях среднее, как правило, не вычисляется с точностью, превышающей один, два знака после запятой, т. е. с большей, чем десятые или сотые доли единицы.

В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется и не имеет смысла, если принять во внимание приблизительность тех оценок, которые в них получаются, и достаточность таких оценок для производства сравнительно точных расчетов^[2].