Среднее квадратическое

Если исходные данные осредняемого признака представлены в несгруппированном виде (как индивидуальные значения первичного признака у отдельных единиц совокупности), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней арифметической простой^[2]:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$, где ${\displaystyle {\overline {x}}}$ — среднее значение признака; ${\displaystyle x_{i}}$ — индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности; ${\displaystyle n}$ — число единиц совокупности.

Простое среднее записывают в виде формулы:

${\displaystyle {\overline {X}}={\sqrt[{z}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{z}}{n}}}}$, где ${\displaystyle x_{i}}$ — некоторое конкретное значение признака, ${\displaystyle z}$ — показатель степени средней ${\displaystyle (-1,0,1,2,3,...)}$.

Из общей формулы, при ${\displaystyle z=2}$ получают формулу среднего квадратического:

${\displaystyle {\overline {X_{q}}}={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i}x^{2}}{n}}}}$.

Данная величина представляет собой характеристику разброса данных. С помощью данной характеристики можно оценить степень рассеяния случайной величины относительно некоторого центра – средней арифметической^[3].

• Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$.

• Между средними величинами существует следующее соотношение, которое описывает правило мажорантности: для одних и тех же статистических данных чем больше показатель степени ${\displaystyle Z}$, тем больше и сама средняя величина^[3]:

${\displaystyle {\overline {X}}:{\overline {X}}_{z=-1}<{\overline {X}}_{z=0}<{\overline {X}}_{z=1}<{\overline {X}}_{z=2}<{\overline {X}}_{z=3}<...}$..

Среднее квадратическое имеет большое значение в теории ошибок^[4]. Через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов, имеющий общенаучное значение.