Цилиндр

Основания — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.

Боковая поверхность — цилиндрическая поверхность, образованная движением прямой линии (образующей) параллельно самой себе вдоль замкнутой направляющей кривой (в случае прямого кругового цилиндра — окружности).

Образующая — отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований (в прямом цилиндре).

Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований.

Высота цилиндра (h) — расстояние между плоскостями оснований (длина образующей в прямом цилиндре).

Радиус цилиндра (r) — радиус основания.

• Прямым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
• Косым называется цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), отрезок между которыми не перпендикулярен плоскостям этих оснований.
• Круговым называется цилиндр с окружностью в роли направляющей.
• Цилиндром вращения, или прямым круговым цилиндром (часто под цилиндром подразумевают именно его) называется цилиндр, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольника вокруг одной из его сторон, содержащая которую прямая в таком случае будет осью этого цилиндра и его осью симметрии.
• Цилиндр, основания которого являются эллипсами, параболами или гиперболами, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим; последние два имеют бесконечный объём.
• Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
• Равносторонним называется цилиндр вращения, диаметр основания которого равен его высоте.

• Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.
• Основания цилиндра равны и параллельны.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.
• В прямом цилиндре образующие перпендикулярны основаниям.
• Осевое сечение прямого цилиндра — прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований.
• Перпендикулярное сечение прямого цилиндра — круг, равный основанию.

• Развёртка прямого кругового цилиндра состоит из:
  • прямоугольника (боковая поверхность) с размерами ${\displaystyle 2\pi R\mathrm {H} }$;
  • двух кругов (основания) радиусом R.

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

• Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

  ${\displaystyle V=S_{\perp }l}$;

• Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

  ${\displaystyle V=Sh=Sl\sin {\varphi }}$,

где ${\displaystyle l}$ — длина образующей, а ${\displaystyle \varphi }$ — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра ${\displaystyle h=l}$.

Для прямого цилиндра ${\displaystyle \sin {\varphi }=1}$, ${\displaystyle l=h}$ и ${\displaystyle S_{\perp }=S}$, и объём равен:

• ${\displaystyle V=Sl=Sh}$

Для кругового цилиндра:

• ${\displaystyle V=\pi R^{2}h=\pi {\frac {d^{2}}{4}}h}$,

где d — диаметр основания.

Природные аналоги цилиндра — это стволы деревьев, некоторые геологические образования, стебли растений. Технические применения:

• Гидравлика и пневматика: цилиндры в гидравлических и пневматических системах^[2] (домкраты, прессы, актуаторы).
• Двигатели внутреннего сгорания: цилиндры двигателей автомобилей, мотоциклов и другой техники.
• Ёмкости и контейнеры: бочки, банки, баллоны, трубы.
• Оптика: линзы и призмы некоторых оптических систем.
• Архитектура: колонны, башни, элементы зданий.
• Производство: валы, ролики, детали машин.

Изучение цилиндров восходит к античной математике. Древнегреческие учёные, такие как Евклид и Архимед, внесли значительный вклад^[3] в изучение свойств цилиндров и других тел вращения. Архимед вывел формулы для вычисления объёма и площади поверхности цилиндра, установив соотношение между объёмом цилиндра и вписанного в него шара (2:3).

• Архимед считал своё открытие соотношения объёмов шара и описанного вокруг него цилиндра одним из важнейших достижений и завещал изобразить эти фигуры на своём надгробии.
• Цилиндрические формы оптимальны для ёмкостей, работающих под давлением (баллоны, резервуары), так как равномерно распределяют нагрузку.
• В картографии используется цилиндрическая проекция (например, проекция Меркатора) для создания карт мира.