Параллельные плоскости

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны^[2];
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну^[1];
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны^[3];
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях^[4].

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны^[5].

• Плоскости ${\displaystyle 2x-3y-4z+11=0}$ и ${\displaystyle -4x+6y+8z+36=0}$ параллельны, так как ${\displaystyle {\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}}$.
• Плоскости ${\displaystyle 2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)}$ и ${\displaystyle 4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)}$ не параллельны, так как ${\displaystyle B_{1}=0}$, а ${\displaystyle B_{2}\neq 0}$.

1. О пропорциональности коэффициентов. В условии параллельности ${\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}$ предполагается, что ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0}$. Если какой-либо из коэффициентов равен нулю, например ${\displaystyle A_{1}=0}$, то условие принимает вид ${\displaystyle A_{2}=0}$, ${\displaystyle {\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}$. Аналогично для ${\displaystyle B_{1}=0}$ или ${\displaystyle C_{1}=0}$.

2. О совпадении плоскостей. Если пропорциональны не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены: ${\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}}$, то плоскости совпадают. Если ${\displaystyle A_{1}=0}$, то ${\displaystyle A_{2}=0}$ и условие совпадения записывается как ${\displaystyle {\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}}$. Аналогично для ${\displaystyle B_{1}=0}$, ${\displaystyle C_{1}=0}$ или ${\displaystyle D_{1}=0}$.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ: Параллельные плоскости

Определение: две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности: если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости β, то α ∥ β.

Свойства:

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.
• Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра (или расстоянию от произвольной точки одной плоскости до другой).

Типичные ошибки: путают параллельность и совпадение плоскостей; забывают, что пересекающиеся прямые в признаке обязательны (для параллельных прямых признак не работает).