Умножение вероятностей

Теоре́ма умноже́ния вероя́тностей формулируется следующим образом: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило^[3]:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A).}$

Формула может быть записана и в симметричном виде: ${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)}$^[4].

Для независимых событий формула упрощается^[5]:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).}$

Для любого количества событий правило обобщается следующим образом — вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей каждого события с учётом условий предыдущих^[6]:

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot ...\cdot P(A_{n}|A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n-1}).}$

Если события независимы в совокупности, формула принимает вид^[5]:

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot ...\cdot P(A_{n}).}$

Усло́вная вероя́тность ${\displaystyle P(A|B)}$ — вероятность наступления события ${\displaystyle A}$ при условии, что событие ${\displaystyle B}$ уже произошло^[7]. Она определяется по формуле:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},}$

где ${\displaystyle P(B)>0}$^[8]. Из этого определения непосредственно вытекает теорема умножения вероятностей^[8].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Умножение вероятностей

Ключевые понятия:

• Произведение событий ${\displaystyle A\cap B}$ — событие, состоящее в совместном наступлении событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.
• Условная вероятность ${\displaystyle P(B|A)}$ — вероятность события ${\displaystyle B}$ при условии, что ${\displaystyle A}$ уже произошло.
• Независимые события — наступление одного не влияет на вероятность другого.

Основные формулы:

• Для зависимых событий: ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)}$.
• Для независимых событий: ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$.
• Для ${\displaystyle n}$ независимых событий: ${\displaystyle P(A_{1}\cap ...\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot ...\cdot P(A_{n})}$.

Как определить зависимость:

• Если после наступления первого события общее число исходов или число благоприятных исходов для второго события меняется — события зависимые.
• Если не меняется — события независимые.

Типовые задания ЕГЭ (профильный уровень, задания № 4-5):

• Извлечение шаров из урны без возврата — зависимые события.
• Бросание монеты или игральной кости несколько раз — независимые события.
• Задачи на совместную работу нескольких механизмов — независимые события.

Важно:

• При извлечении без возврата знаменатель дроби уменьшается на 1 после каждого извлечения.
• Нельзя использовать формулу для независимых событий, если события зависимы.